Verifique se a função é par ou ímpar.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função $ f(x) = x^{5} + 2x $ é par ou ímpar. Isso está relacionado ao estudo das funções pares e ímpares, que são conceitos importantes em matemática, especialmente em álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser par ou ímpar e depois aplicar essas definições à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são funções pares e ímpares:
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Função Par: Uma função $ f $ é par se, para todo $ x $ no domínio dela, $ f(-x) = f(x) $. Geometricamente, isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
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Função Ímpar: Uma função $ f $ é ímpar se, para todo $ x $ no domínio dela, $ f(-x) = -f(x) $. Isso faz com que o gráfico da função seja simétrico em relação à origem.
Agora, vamos aplicar essas definições à função $ f(x) = x^{5} + 2x $.
Passo 3
Vamos calcular $ f(-x) $ substituindo $ x $ por $ -x $ na função:
Sabemos que:
- $ (-x)^{5} = -x^{5} $ porque o expoente 5 é ímpar.
- $ 2(-x) = -2x $
Então,
Passo 4
Agora, vamos comparar $ f(-x) $ com $ f(x) $ e $ -f(x) $:
- $ f(x) = x^{5} + 2x $
- $ -f(x) = -x^{5} - 2x $
Observamos que:
Isso atende à definição de função ímpar.
Resposta
A função $ f(x) = x^{5} + 2x $ é ímpar.