Verifique se a função u=e^-a^2 k^2 sen k x é solução da equação de condução do calor ut=alpha^2 u cs

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
u(x,t) = e^-a^2k^2t,sin(kx)
é solução da equação de condução de calor
ut = alpha^2,uxx
Aqui o conteúdo é cálculo de derivadas parciais e substituição na PDE.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de u em relação a t:
ut = partialpartial tl(e^-a^2k^2tsin(kx)r) = -a^2k^2,e^-a^2k^2tsin(kx)

Passo 3

Agora a derivada parcial de segunda ordem de u em x. Primeiro
ux = partialpartial xl(e^-a^2k^2tsin(kx)r) = e^-a^2k^2t,kcos(kx),
e depois
uxx = partialpartial xl(e^-a^2k^2t,kcos(kx)r) = -k^2,e^-a^2k^2tsin(kx)

Passo 4

Substituindo na PDE, o lado esquerdo é
ut = -a^2k^2,e^-a^2k^2tsin(kx),
e o direito é
alpha^2,uxx = alpha^2l(-k^2e^-a^2k^2tsin(kx)r) = -alpha^2k^2,e^-a^2k^2tsin(kx)
Para serem iguais precisamos de
-a^2k^2,e^-a^2k^2tsin(kx) ;=; -alpha^2k^2,e^-a^2k^2tsin(kx) Longrightarrow a^2 = alpha^2

Resposta

A função u(x,t)=e^-a^2k^2tsin(kx) satisfaz
,ut=alpha^2uxx, se, e somente se,
a^2=alpha^2 l(ie a=pmalpha, tipicamente a=alpha>0r)

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