9- Verifique se a função z=\ln \left(e^{x}+e^{y}\right) é solução da equação \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
z(x,y) = \ln\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)
satisfaz a equação de Monge–Ampère
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\;\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} -\Bigl(\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}\Bigr)^{2}=0.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem usando regra da cadeia e regra do quociente.

Passo 2

Para as derivadas de primeira ordem, aplicamos
\partial_x\ln(u)=u_x/u e \partial_y\ln(u)=u_y/u. Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{e^{x}}{\,e^{x}+e^{y}\,},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{e^{y}}{\,e^{x}+e^{y}\,}.

Passo 3

Para as segundas derivadas puras, derivamos novamente em x e em y por regra do quociente:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{(e^{x}+e^{y})\,e^{x} - e^{x}\,e^{x}}{(e^{x}+e^{y})^{2}} = \frac{e^{x}e^{y}}{(e^{x}+e^{y})^{2}},
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{(e^{x}+e^{y})\,e^{y} - e^{y}\,e^{y}}{(e^{x}+e^{y})^{2}} = \frac{e^{x}e^{y}}{(e^{x}+e^{y})^{2}}.

Passo 4

Para a derivada mista, derivamos \partial z/\partial x em y:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y} = \frac{0\cdot(e^{x}+e^{y}) - e^{x}\,e^{y}}{(e^{x}+e^{y})^{2}} = -\,\frac{e^{x}e^{y}}{(e^{x}+e^{y})^{2}}.

Passo 5

Substituindo em
\displaystyle z_{xx}\,z_{yy} - (z_{xy})^2, obtemos
\frac{e^{x}e^{y}}{(e^{x}+e^{y})^{2}} \cdot \frac{e^{x}e^{y}}{(e^{x}+e^{y})^{2}} - \Bigl(-\frac{e^{x}e^{y}}{(e^{x}+e^{y})^{2}}\Bigr)^{2} = \frac{(e^{x}e^{y})^{2}}{(e^{x}+e^{y})^{4}} - \frac{(e^{x}e^{y})^{2}}{(e^{x}+e^{y})^{4}} =0.

Resposta

Sim. A função \displaystyle z=\ln\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr) satisfaz
\displaystyle z_{xx}\,z_{yy}-(z_{xy})^{2}=0.

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