Verifique se as funções abaixo são contínuas em x=0\) e justifique. \(f(x)= \begin{cases}1-3 x^{2}+x^{3} & , x \leq 0 \\\ x^{5}-2 x^{2}+3 x+1 & , x>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
f(x)= \begin{cases} 1-3x^{2}+x^{3},&x\le0,\\\ x^{5}-2x^{2}+3x+1,&x>0 \end{cases}
e pede para verificar se ela é contínua em x=0. Para isso, vamos usar a definição de continuidade num ponto: f é contínua em x=0 se e somente se
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0).

Passo 2

Primeiro calculamos o valor de f em 0 e o limite pela esquerda. Como 0\le0 pertence ao primeiro ramo,
f(0)=1-3\cdot0^{2}+0^{3}=1.
Além disso, esse ramo é um polinômio, logo contínuo, e
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\bigl(1-3x^{2}+x^{3}\bigr)=1.

Passo 3

Agora calculamos o limite pela direita, usando o segundo ramo, também um polinômio contínuo:
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\bigl(x^{5}-2x^{2}+3x+1\bigr) =1.

Passo 4

Como obtivemos
\lim_{x\to0^-}f(x)=1,\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=1 \quad\text{e}\quad f(0)=1,
concluímos que ambos os limites lateral e o valor da função em 0 coincidem.

Resposta

A função f é contínua em x=0, pois \lim_{x\to0}f(x)=f(0)=1.

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