Verifique se as funções abaixo são contínuas em x=0\) e justifique. \(f(x)= \begin{cases}x^{2} \operatorname{sen}\left(e^{\frac{1}{x}}\right) & , x<0 \\\ x^{4}+3 x^{2}-4 x+1 & , x \geq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = \begin{cases} x^{2}\sin\bigl(e^{\frac{1}{x}}\bigr), & x<0,\\\ x^{4}+3x^{2}-4x+1, & x\ge0. \end{cases}
Queremos verificar se f é contínua em x=0. Para isso, precisamos checar se \lim_{x\to0^-}f(x), \lim_{x\to0^+}f(x) e f(0) existem e coincidem.

Passo 2

Calcular \lim_{x\to0^-}f(x). Quando x<0,
f(x)=x^{2}\sin\bigl(e^{\tfrac{1}{x}}\bigr).
Como -1\le\sin(\cdot)\le1, vale
-\,x^{2}\le x^{2}\sin\bigl(e^{\tfrac{1}{x}}\bigr)\le x^{2}.
E como x^{2}\to0 quando x\to0, pelo Teorema do Confronto
\lim_{x\to0^-}f(x)=0.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to0^+}f(x) e o valor de f(0). Para x\ge0,
f(x)=x^{4}+3x^{2}-4x+1
é um polinômio, logo contínuo. Assim
\lim_{x\to0^+}f(x)=0^{4}+3\cdot0^{2}-4\cdot0+1=1,
e também
f(0)=1.

Passo 4

Comparamos os dois limites laterais: \lim_{x\to0^-}f(x)=0 e \lim_{x\to0^+}f(x)=1. Como eles não coincidem, a condição de continuidade em x=0 falha.

Resposta

A função f não é contínua em x=0, pois
\lim_{x\to0^-}f(x)=0\neq1=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0).

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