verifique se as funções abaixo são ou não lipschitzianas.
e)
dada por
, onde
é um conjunto limitado.
e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é Lipschitziana, sendo
um conjunto limitado em
.
O que precisamos: a definição de continuidade Lipschitz e um critério prático (valor médio ou derivada limitada).
O que precisamos: a definição de continuidade Lipschitz e um critério prático (valor médio ou derivada limitada).
Passo 2
Lembrando a definição,
é Lipschitziana em
se existe
tal que, para todos
,
Um modo eficiente é usar o Teorema do Valor Médio: se
é diferenciável em um intervalo contendo
e
, então existe
entre
e
com
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Como
é limitado, definimos
Então para qualquer
vale
.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Médio, para todo
existe
entre eles tal que
Logo basta tomar
para garantir a condição de Lipschitz.
Resposta
A função
é Lipschitziana em qualquer conjunto limitado
, com constante de Lipschitz