verifique se as funções abaixo são ou não lipschitzianas.
e) f: X R dada por f(x)=x^2, onde X é um conjunto limitado.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
fcolon X to R, f(x)=x^2
é Lipschitziana, sendo X um conjunto limitado em R.
O que precisamos: a definição de continuidade Lipschitz e um critério prático (valor médio ou derivada limitada).

Passo 2

Lembrando a definição, f é Lipschitziana em X se existe L>0 tal que, para todos x,yin X,
|f(x)-f(y)| <= L,|x-y|
Um modo eficiente é usar o Teorema do Valor Médio: se f é diferenciável em um intervalo contendo x e y, então existe xi entre x e y com
f(x)-f(y) = f'(xi),(x-y)

Passo 3

Calculamos a derivada de f(x)=x^2:
f'(x)=2x
Como X é limitado, definimos
M = supxin X |x| < +infty
Então para qualquer xiin X vale |f'(xi)| = |2xi| <= 2M.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Médio, para todo x,yin X existe xi entre eles tal que
|f(x)-f(y)| = |f'(xi)|,|x-y| <= 2M,|x-y|
Logo basta tomar
L = 2M
para garantir a condição de Lipschitz.

Resposta

A função f(x)=x^2 é Lipschitziana em qualquer conjunto limitado X, com constante de Lipschitz
L = 2,supxin X|x|

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