Verifique se as funções abaixo, são ou não são transformações lineares, justificando:
F_{3}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que F_{3}(x, y, z)=(4 x-4 y+z, 4 x+y-7).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
F_{3}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\quad F_{3}(x,y,z) = \bigl(4x - 4y + z,\;4x + y - 7\bigr)
é ou não uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear: uma aplicação T é linear se e somente se, para todo vetor u em \mathbb{R}^{n}, vale
T(0) = 0
e
T(u+v) = T(u) + T(v),\quad T(\alpha u) = \alpha\,T(u).
Basta mostrar que uma dessas propriedades falha para concluir que não é linear.

Passo 2

Verificamos a imagem do vetor nulo (0,0,0). Calculamos
F_{3}(0,0,0) = \bigl(4\cdot0 -4\cdot0 + 0,\;4\cdot0 + 0 - 7\bigr) = (0,\,-7).
Para uma transformação linear deveríamos ter F_{3}(0,0,0) = (0,0). Aqui o segundo componente é -7\neq0.

Passo 3

Como F_{3}(0)\neq0, a condição necessária T(0)=0 não é satisfeita. Logo, F_{3} não pode ser linear.

Resposta

A função F_{3} não é transformação linear.

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