Verifique se as funções abaixo, são ou não são transformações lineares, justificando:
F_{4}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que F_{4}(x, y)=(12 x-7 y, 4 y, 8 x+y).

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
F_{4}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\qquad F_{4}(x,y) = (\,12x - 7y,\;4y,\;8x + y\,)
e pede para verificar se é transformação linear. Para isso vamos usar a definição: F é linear se, para todos u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c, valem
F(u+v) = F(u) + F(v) \quad\text{e}\quad F(c\,u) = c\,F(u).

Passo 2

(Verificação da aditividade)
Sejam u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}). Então
u+v = (\,x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}\,),
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F_{4}(u+v) = \bigl(12(x_{1}+x_{2}) - 7(y_{1}+y_{2}),\;4(y_{1}+y_{2}),\;8(x_{1}+x_{2}) + (y_{1}+y_{2})\bigr).
Distribuindo, isso é
\bigl(12x_{1}-7y_{1} + 12x_{2}-7y_{2},\;4y_{1}+4y_{2},\;8x_{1}+y_{1}+8x_{2}+y_{2}\bigr) = F_{4}(x_{1},y_{1}) + F_{4}(x_{2},y_{2}).

Passo 3

(Verificação da homogeneidade)
Para escalar c e vetor u=(x,y), temos
c\,u = (c\,x,\,c\,y),
e
F_{4}(c\,u) = \bigl(12(c\,x) - 7(c\,y),\;4(c\,y),\;8(c\,x) + (c\,y)\bigr) = c\,(12x-7y,\;4y,\;8x+y) = c\,F_{4}(x,y).

Resposta

A aplicação F_{4} satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é transformação linear.

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