Verifique se as funções abaixo, são ou não são transformações lineares, justificando:
F_{5}: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que F_{5}(x, y, z, t)=(-x-4 y+4 z-3 t, 4 x+6 y-t).

Passo 1

O enunciado define a aplicação
F_{5}\colon \mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{2}, \quad F_{5}(x,y,z,t)=\bigl(-x-4y+4z-3t,\;4x+6y-t\bigr)
e pede para verificar se F_{5} é ou não uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de linearidade:
  1. F_{5}(u+v)=F_{5}(u)+F_{5}(v) para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^{4}.
  2. F_{5}(\alpha u)=\alpha\,F_{5}(u) para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^{4}.

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
u=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\quad v=(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2}).
Então
u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2},\,t_{1}+t_{2})
e
F_{5}(u+v) =\bigl(-(x_{1}+x_{2})-4(y_{1}+y_{2})+4(z_{1}+z_{2})-3(t_{1}+t_{2}),\; 4(x_{1}+x_{2})+6(y_{1}+y_{2})-(t_{1}+t_{2})\bigr).
Agrupando termos:
F_{5}(u+v) =\bigl((-x_{1}-4y_{1}+4z_{1}-3t_{1})+(-x_{2}-4y_{2}+4z_{2}-3t_{2}),\; (4x_{1}+6y_{1}-t_{1})+(4x_{2}+6y_{2}-t_{2})\bigr),
que é exatamente
F_{5}(u)+F_{5}(v).
Logo, a aditividade está satisfeita.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t). Então
\alpha\,u=(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha t)
e
F_{5}(\alpha u) =\bigl(-\alpha x-4\alpha y+4\alpha z-3\alpha t,\;4\alpha x+6\alpha y-\alpha t\bigr).
Fatorando \alpha:
F_{5}(\alpha u) =\alpha\,\bigl(-x-4y+4z-3t,\;4x+6y-t\bigr) =\alpha\,F_{5}(u).
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Passo 4

Como F_{5} satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que F_{5} é de fato uma transformação linear. Num formato matricial, podemos escrevê-la como
F_{5}(x,y,z,t) =\begin{pmatrix} -1 & -4 & 4 & -3\\\\ 4 & 6 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}.

Resposta

F_{5} é uma transformação linear.

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