Verifique se as funções abaixo, são ou não são transformações lineares, justificando:
tal que
.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede para verificar se
é ou não uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de linearidade:
-
para quaisquer . -
para qualquer e .
Passo 2
Verificação da aditividade. Seja
Então
e
Agrupando termos:
que é exatamente
Logo, a aditividade está satisfeita.
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
e
Fatorando
:
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Passo 4
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é de fato uma transformação linear. Num formato matricial, podemos escrevê-la como