Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares. Justifique sua resposta.
g(x)=-x^{4}+2 x^{2}+1

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer saber se a função
g(x) = -x^4 + 2x^2 + 1
é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Matéria envolvida: definição de função par e ímpar.
O que vamos precisar:
  • Saber a definição de função par (quando ).
  • Saber a definição de função ímpar (quando ).
  • Fazer a substituição de por e comparar com as duas definições.

Passo 2

Teoria sobre paridade:
  1. Função par: para todo . Visualmente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo .
  2. Função ímpar: para todo . O gráfico tem ponto de simetria na origem.
    Se não satisfazer nenhuma das definições, é “nem par nem ímpar”.

Passo 3

Vamos calcular g(-x) = -(-x)^4 + 2,(-x)^2 + 1:
(-x)^4 = x^4 e (-x)^2 = x^2
Como a potência 4 e a potência 2 são pares,
g(-x) = -,x^4 + 2,x^2 + 1
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Passo 4

Agora comparamos:
  • -g(x) = -l(-x^4 + 2x^2 + 1r) = x^4 - 2x^2 - 1, .
  • .
    Vemos que .
Para garantir que não é ímpar, podemos checar :
e esse não é igual a .

Resposta

A função é par, pois satisfaz .

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