Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares. Justifique sua resposta.
h(x)=\sqrt{8 x^{2}+x}

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é verificar se a função
h(x)=raiz8x^2+x
é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Conteúdo: paridade de funções (definição de função par e ímpar) e domínio de funções envolvendo raiz. Vamos precisar:
1) Definição de paridade.
2) Domínio de .
3) Testar em relação a e a .

Passo 2

Definição de paridade:
  • Função par se, para todo f(-x)=f(x), no domínio, vale f(-x)=-,f(x),
    - Função ímpar se, para todo no domínio, vale
Importante: o domínio da função tem que ser simétrico (se está, também deve estar) para fazermos esses testes.

Passo 3

Achar o domínio de 8x^2+x>=0.
Pra a raiz ser real, precisamos de
x(8x+1)>=0,
Fatorando:
xin(-infty,,-tfrac18];cup;[0,infty),
As raízes desse polinômio são e . Como o coeficiente de é positivo, a região onde ele fica ≥0 é

Repare que, por exemplo, está no domínio mas não (pois ). Logo o domínio não é simétrico em relação a zero. Já deu indício de que não pode ser par nem ímpar.

Passo 4

Mesmo sem domínio simétrico, vamos ver o que ocorre ao trocar h(-x)=raiz8(-x)^2+(-x)=raiz8x^2 - x, por :

- Para ser par, precisaríamos de para todo do domínio. Não bate, pois em geral.
- Para ser ímpar, precisaríamos de . Mas a raiz quadrada é sempre não-negativa, então não existe igualdade do tipo positivo = negativo, tampouco cai em .
Dessa forma, não satisfaz nem nem .

Resposta

A função não é par nem ímpar.

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