Verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial. .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial linear de 3º ordem com coeficientes constantes
Para isso precisamos (i) verificar que cada função satisfaz a equação e (ii) mostrar que elas são linearmente independentes, normalmente calculando o Wronskiano.
Passo 2
Vamos checar que cada função é solução.
Para temos
logo
Para temos
portanto
Para temos
portanto
Passo 3
Agora calculamos o Wronskiano das três funções para verificar independência linear:
Expandindo pela primeira coluna vem
W(t) =1cdotl((-,sin t)(-,sin t)-(cos t)(-,cos t)r) =sin^2 t + cos^2 t =1
Como W(t)=1neq0 para todo t, as soluções são linearmente independentes.]
Resposta
As funções 1,cos t,sin t satisfazem a equação y'''+y'=0 e têm Wronskiano não nulo, logo formam um conjunto fundamental de soluções.