Verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.
y^prime prime prime+y^prime=0,1, cos t, sin t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções 1,cos t,sin t formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial linear de 3º ordem com coeficientes constantes
y''' + y' = 0
Para isso precisamos (i) verificar que cada função satisfaz a equação e (ii) mostrar que elas são linearmente independentes, normalmente calculando o Wronskiano.

Passo 2

Vamos checar que cada função é solução.
  1. Para y1(t)=1 temos
y1'(t)=0, y1''(t)=0, y1'''(t)=0,
logo
y1''' + y1' = 0 + 0 = 0
  1. Para y2(t)=cos t temos
y2'(t)=-sin t, y2''(t)=-cos t, y2'''(t)=sin t,
portanto
y2''' + y2' = sin t + (-sin t) = 0
  1. Para y3(t)=sin t temos
y3'(t)=cos t, y3''(t)=-sin t, y3'''(t)=-cos t,
portanto
y3''' + y3' = -cos t + cos t = 0

Passo 3

Agora calculamos o Wronskiano das três funções para verificar independência linear:
W(t)= 1 & cos t & sin t [6pt] 0 & -sin t & cos t [6pt] 0 & -cos t & -sin t
Expandindo pela primeira coluna vem
W(t) =1cdotl((-,sin t)(-,sin t)-(cos t)(-,cos t)r) =sin^2 t + cos^2 t =1
Como W(t)=1neq0 para todo t, as soluções são linearmente independentes.]

Resposta

As funções 1,cos t,sin t satisfazem a equação y'''+y'=0 e têm Wronskiano não nulo, logo formam um conjunto fundamental de soluções.

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