Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
é diferenciável no ponto (0,0). O conteúdo principal aqui é a definição de diferenciabilidade para funções de duas variáveis e o cálculo de derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) pela definição. Primeiro
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h^2+0^2}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}.
Esse limite vale 1 se h\to0^+ e -1 se h\to0^-. Logo \,f_x(0,0) não existe. De modo análogo
f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{\sqrt{0^2+k^2}-0}{k} =\lim_{k\to0}\frac{|k|}{k}
também não existe.

Passo 3

Como as derivadas parciais em (0,0) não existem, já podemos concluir que f não é diferenciável aí. Para ver isso pela definição de diferenciabilidade, note que se existisse diferencial total, teríamos um mapa linear \,L(h,k)=a\,h+b\,k
tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.
Mesmo escolhendo a=b=0 (o único caso compatível com derivadas parciais inexistentes), o quociente fica
\frac{\sqrt{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}}=1\not\to0,
confirmando que não há aproximação linear.

Resposta

A função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} não é diferenciável na origem (0,0).

Exercícios relacionados