Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável no ponto
. O conteúdo principal aqui é a definição de diferenciabilidade para funções de duas variáveis e o cálculo de derivadas parciais nesse ponto.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais em
pela definição. Primeiro
Esse limite vale
se
e
se
. Logo
não existe. De modo análogo
também não existe.
Passo 3
Como as derivadas parciais em
não existem, já podemos concluir que
não é diferenciável aí. Para ver isso pela definição de diferenciabilidade, note que se existisse diferencial total, teríamos um mapa linear
tal que
tal que
Mesmo escolhendo
(o único caso compatível com derivadas parciais inexistentes), o quociente fica
confirmando que não há aproximação linear.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem
.