Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
f(x, y)=y e^{3 x}-x e^{-3 y}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=y\,e^{3x}-x\,e^{-3y}
é diferenciável no ponto (0,0). O conteúdo necessário é o cálculo das derivadas parciais em (0,0) e a checagem de que o resto da aproximação linear é de ordem menor que \sqrt{x^2+y^2}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f.
Para \partial f/\partial x:
f_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,e^{3x}\bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{-3y}\bigr) =3y\,e^{3x}-e^{-3y}.
Em (0,0) temos
f_x(0,0)=3\cdot0\cdot e^{0}-e^{0}=-1.
Para \partial f/\partial y:
f_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{3x}\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{-3y}\bigr) =e^{3x}+3x\,e^{-3y}.
Em (0,0) obtém-se
f_y(0,0)=e^{0}+3\cdot0\cdot e^{0}=1.

Passo 3

A aproximação linear de f em (0,0) é
L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y =0+(-1)x+1\cdot y=-x+y.

Passo 4

Precisamos mostrar que o resto
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)
satisfaz \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{R(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0. Note que
R(x,y)=y\,e^{3x}-x\,e^{-3y}+x-y =y\bigl(e^{3x}-1\bigr)-x\bigl(e^{-3y}-1\bigr).
Para |x|+|y| pequeno, expandindo exponenciais:
e^{3x}-1=3x+O(x^2),\quad e^{-3y}-1=-3y+O(y^2).
Logo
R(x,y)=3xy+O(x^2y)+3xy+O(xy^2) =6xy+O(\|(x,y)\|^3).
Como |xy|\le\frac12(x^2+y^2), vem
|R(x,y)|\le3(x^2+y^2)+C\|(x,y)\|^3 =3\|(x,y)\|^2+C\|(x,y)\|^3.
Assim
\left|\frac{R(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le3\sqrt{x^2+y^2}+C\,(x^2+y^2)\to0 \quad\text{quando }(x,y)\to(0,0).

Resposta

A função f(x,y)=y\,e^{3x}-x\,e^{-3y} é diferenciável na origem.

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