Verifique se as funções dadas são limitadas em . Determine os pontos/valores de máximo e mínimo de .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função , com domínio , é limitada em e, em caso afirmativo, encontrar seus pontos (e valores) de máximo e mínimo. O conteúdo é límite de funções e extremos em conjuntos fechados (ou não), e vamos precisar usar definições de limite superior/inferior, comportamento de quando e análise nos extremos do domínio.
Passo 2
Para mostrar que é limitada, note que em todo vale . Assim,
Isso prova que existe M=1/5 tal que |f(x)|<= M em todo D, logo f é limitada.
Passo 3
Agora analisamos cada ramo do domínio para achar extremos. Em [5,infty), f(x)=1/x é positiva e estritamente decrescente (derivada f'(x)=-1/x^2<0). Logo o maior valor ocorre no ponto mais à esquerda:
f(5)=15,
e o menor valor desse ramo não é atingido mas tende a 0 quando xtoinfty.
Passo 4
Em ( -infty,-5], f(x)=1/x também é estritamente decrescente (para x<0 a derivada continua negativa), mas como x cresce de -infty até -5, o menor valor ocorre em x=-5 e o maior tende a 0 quando xto -infty. Assim,
f(-5)=-15
Passo 5
Comparando os valores obtidos nas bordas de cada ramo, vemos que o valor máximo global de f em D é 1/5 em x=5, e o valor mínimo global é -1/5 em x=-5.
Resposta
A função é limitada em D (pois |f(x)|<=1/5). O máximo de f em D é f(5)=1/5 e o mínimo é f(-5)=-1/5.