Verifique se as funções T abaixo são transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y)=(x-2 y, 3 x+4 y)

Passo 1

O enunciado dá uma função T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(x-2y,\;3x+4y).
A pergunta é clara: verificar se T é uma transformação linear, ou seja, decidir se T satisfaz as propriedades que definem linearidade (sem resolver nada ainda).
As informações relevantes fornecidas:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}^{2}.
  • Regra explícita: para cada par (x,y)\in\mathbb{R}^{2} tem-se T(x,y)=(x-2y,\;3x+4y).
  • O que é pedido: confirmar se T é linear (sim ou não), testando as propriedades necessárias.

Passo 2

Lembrete (definição de transformação linear) — o que preciso mostrar:
Uma aplicação T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade (multiplicação por escalar): T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
Vou aplicar essas definições de forma concreta com componentes, para ficar bem claro passo a passo.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) vetores quaisquer em \mathbb{R}^{2}. Então a soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Calculo T(u+v) usando a regra dada:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\big((x_1+x_2)-2(y_1+y_2),\;3(x_1+x_2)+4(y_1+y_2)\big).
Agora distribuo e reorganizo os termos (fazendo as contas passo a passo):
\begin{aligned} (x_1+x_2)-2(y_1+y_2) &= (x_1-2y_1) + (x_2-2y_2),\\[4pt] 3(x_1+x_2)+4(y_1+y_2) &= (3x_1+4y_1) + (3x_2+4y_2). \end{aligned}
Portanto
T(u+v)=\big(x_1-2y_1,\;3x_1+4y_1\big) + \big(x_2-2y_2,\;3x_2+4y_2\big).
Mas os pares à direita são exatamente T(u) e T(v). Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).
Isso prova a propriedade de aditividade.]

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Então \lambda u=(\lambda x,\;\lambda y). Aplico T:
T(\lambda u)=T(\lambda x,\;\lambda y)=\big(\lambda x - 2(\lambda y),\;3(\lambda x)+4(\lambda y)\big).
Fatorando \lambda em cada componente:
T(\lambda u)=\big(\lambda(x-2y),\;\lambda(3x+4y)\big)=\lambda\big(x-2y,\;3x+4y\big).
Como \big(x-2y,\;3x+4y\big)=T(x,y)=T(u), obtemos
T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
Isso prova a propriedade de homogeneidade.

Passo 5

Conclusão lógica: como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para vetores e escalares arbitrários, T é uma transformação linear.
Além disso (comentário útil para prova): podemos escrever T como multiplicação por matriz. A matriz associada, que transforma o vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} em T(x,y), é
A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix},
pois
\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot x + (-2)\cdot y\\[4pt] 3\cdot x + 4\cdot y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x-2y\\[4pt] 3x+4y\end{pmatrix}=T(x,y).
Essa observação confirma de outro ângulo que T é linear (toda multiplicação por matriz é transformação linear).]

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.

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