Verifique se as funções
abaixo são transformações lineares:
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida por
A pergunta é clara: verificar se
é uma transformação linear, ou seja, decidir se
satisfaz as propriedades que definem linearidade (sem resolver nada ainda).
As informações relevantes fornecidas:
- Domínio e contradomínio:
. - Regra explícita: para cada par
tem-se . - O que é pedido: confirmar se
é linear (sim ou não), testando as propriedades necessárias.
Passo 2
Lembrete (definição de transformação linear) — o que preciso mostrar:
Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Uma aplicação
- Aditividade:
. - Homogeneidade (multiplicação por escalar):
.
Vou aplicar essas definições de forma concreta com componentes, para ficar bem claro passo a passo.
Passo 3
Verificação da aditividade
.
Sejam
e
vetores quaisquer em
. Então a soma é
Calculo
usando a regra dada:
Agora distribuo e reorganizo os termos (fazendo as contas passo a passo):
Portanto
Mas os pares à direita são exatamente
e
. Logo
Isso prova a propriedade de aditividade.]
Passo 4
Verificação da homogeneidade
.
Seja
e
. Então
. Aplico
:
Fatorando
em cada componente:
Como
, obtemos
Isso prova a propriedade de homogeneidade.
Passo 5
Conclusão lógica: como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para vetores e escalares arbitrários,
é uma transformação linear.
Além disso (comentário útil para prova): podemos escrever
como multiplicação por matriz. A matriz associada, que transforma o vetor coluna
em
, é
pois
Essa observação confirma de outro ângulo que
é linear (toda multiplicação por matriz é transformação linear).]
Resposta
Sim.
é uma transformação linear.