Verifique se as funções T abaixo são transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad T(x, y, z)=(x+y, x-z, 0)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se verificar se a função T é uma transformação linear.
  • A função é T: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z) = (x+y,\; x-z,\; 0).
  • Pergunta concreta a responder: T satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear?

Passo 2

Lembrando a definição (explicando devagar): uma função T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear quando ela preserva soma de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R} devem valer as duas propriedades:
  • Aditividade:
T(u+v) = T(u) + T(v).
  • Homogeneidade (ou multiplicação por escalar):
T(c\,u) = c\,T(u).
Se as duas propriedades valem para todos u,v,c, então T é linear. Vou verificar ambas diretamente com coordenadas genéricas — isso é o jeito mais direto na prova.

Passo 3

Preparação para as contas: escrevo vetores genéricos em coordenadas. Seja
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2),
com x_i,y_i,z_i\in\mathbb{R}.
Calculo primeiro u+v em coordenadas:
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Agora aplico T em u+v usando a definição dada:
T(u+v)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)-(z_1+z_2),\; 0\big).
Organizando as somas:
T(u+v)=\big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\; (x_1-z_1)+(x_2-z_2),\; 0\big).

Passo 4

Agora aplico T individualmente em u e em v e somo os resultados:
T(u)=(x_1+y_1,\; x_1-z_1,\; 0), \qquad T(v)=(x_2+y_2,\; x_2-z_2,\; 0).
Somando coordenada a coordenada:
T(u)+T(v)=\big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\; (x_1-z_1)+(x_2-z_2),\; 0+0\big).
Comparando com o resultado do Passo 3 vemos que
T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto a propriedade de aditividade está verificada para vetores genéricos.

Passo 5

Agora verifico homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} um escalar e u=(x,y,z) um vetor genérico. Primeiro calculo c\,u:
c\,u=(c x,\; c y,\; c z).
Aplico T em c\,u:
T(cu)=\big(c x + c y,\; c x - c z,\; 0\big).
Fatorando c nas duas primeiras coordenadas:
T(cu)=\big(c(x+y),\; c(x-z),\; 0\big).
Por outro lado, calculo c\,T(u). Primeiro
T(u)=(x+y,\; x-z,\; 0),
então
c\,T(u)=\big(c(x+y),\; c(x-z),\; c\cdot 0\big)=\big(c(x+y),\; c(x-z),\; 0\big).
Comparando,
T(cu)=c\,T(u).
Portanto a propriedade de homogeneidade também está verificada para escalar genérico c e vetor genérico u.

Passo 6

Conclusão das verificações: como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram verificadas para vetores e escalares genéricos, T satisfaz a definição de transformação linear. Uma maneira alternativa e rápida de ver isso (útil na prova) é observar que cada coordenada de T(x,y,z) é uma combinação linear das coordenadas x,y,z sem termo constante: as coordenadas são x+y, x-z e 0. Isso caracteriza diretamente uma aplicação linear.

Passo 7

Bônus prático (muito útil na prova): matriz associada de T na base canônica. Se e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1), então
T(e_1)=(1,1,0),\quad T(e_2)=(1,0,0),\quad T(e_3)=(0,-1,0).
Colocando essas imagens como colunas, a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Qualquer vetor (x,y,z) é então levado a A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, o que confirma a linearidade.]

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

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