Verifique se as funções T abaixo são transformações lineares: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad T(x, y, z)=(x+y, x-z, 0)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede-se verificar se a função T é uma transformação linear.
A função é T: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z) = (x+y,\; x-z,\; 0).
Pergunta concreta a responder: T satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear?
Passo 2
Lembrando a definição (explicando devagar): uma função T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear quando ela preserva soma de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R} devem valer as duas propriedades:
Aditividade:
T(u+v) = T(u) + T(v).
Homogeneidade (ou multiplicação por escalar):
T(c\,u) = c\,T(u).
Se as duas propriedades valem para todos u,v,c, então T é linear. Vou verificar ambas diretamente com coordenadas genéricas — isso é o jeito mais direto na prova.
Passo 3
Preparação para as contas: escrevo vetores genéricos em coordenadas. Seja
Portanto a propriedade de homogeneidade também está verificada para escalar genérico c e vetor genérico u.
Passo 6
Conclusão das verificações: como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram verificadas para vetores e escalares genéricos, T satisfaz a definição de transformação linear. Uma maneira alternativa e rápida de ver isso (útil na prova) é observar que cada coordenada de T(x,y,z) é uma combinação linear das coordenadas x,y,z sem termo constante: as coordenadas são x+y, x-z e 0. Isso caracteriza diretamente uma aplicação linear.
Passo 7
Bônus prático (muito útil na prova): matriz associada de T na base canônica. Se e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1), então