Verifique que h(x)=coth x é ímpar.

Passo 1

O enunciado define a função
h(x)=coth x
e pede para verificar que ela é ímpar, ou seja, que vale
h(-x)=-h(x)
Para isso, usaremos as propriedades de paridade das funções hiperbólicas cosh x e sinh x.

Passo 2

Recordamos a definição de coth x em termos de cosh x e sinh x:
coth x = cosh xsinh x

Passo 3

Agora calculamos h(-x):
h(-x)=coth(-x) =cosh(-x)sinh(-x)
Como sabemos que cosh(-x)=cosh x (função par) e sinh(-x)=-sinh x (função ímpar), segue
h(-x) =cosh x-sinh x =-cosh xsinh x =-coth x =-h(x)

Passo 4

Como mostramos que
h(-x)=-h(x),
concluímos que h(x)=coth x é uma função ímpar.

Resposta

A função h(x)=coth x é ímpar.

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