Verifique se os grupos
e
são cíclicos. (2,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os grupos
e
são cíclicos, ou seja, se existe algum elemento cuja ordem seja igual ao tamanho do grupo. Vamos usar teoria de grupos de unidades módulo
: o tamanho de
é
(função totiente de Euler), e para testar ciclicidade precisamos encontrar, ou provar a inexistência de, um gerador cujo ordem seja
.
Passo 2
Primeiro analisamos
. Temos
e
Experimentando com o elemento 2, calculamos as potências de 2 módulo 9:
Como obtivemos os seis elementos distintos antes de voltar a 1, a ordem de 2 é 6, logo 2 gera todo o grupo e
é cíclico.
Passo 3
Agora analisamos
. Temos
e
Calculando, por exemplo, potências de 3:
lgo a ordem de 3 é 2. De modo análogo verifica-se que 5 e 7 também têm ordem 2.
Não há, portanto, elemento de ordem 4 em , de modo que
não é cíclico.
Não há, portanto, elemento de ordem 4 em
Resposta
O grupo (\mathbb{Z}_9^,\cdot) é cíclico (ex.: gerado por 2) e o grupo (\mathbb{Z}_8^,\cdot) não é cíclico.