Verifique se os grupos (Z9^*, cdot) e (Z8^*, cdot) são cíclicos. (2,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os grupos (Z9^*,cdot) e (Z8^*,cdot) são cíclicos, ou seja, se existe algum elemento cuja ordem seja igual ao tamanho do grupo. Vamos usar teoria de grupos de unidades módulo n: o tamanho de Zn^* é varphi(n) (função totiente de Euler), e para testar ciclicidade precisamos encontrar, ou provar a inexistência de, um gerador cujo ordem seja varphi(n).

Passo 2

Primeiro analisamos (Z9^*,cdot). Temos
Z9^*=1,2,4,5,7,8,
e varphi(9)=6. Se encontrarmos um elemento de ordem 6, o grupo é cíclico.
Experimentando com o elemento 2, calculamos as potências de 2 módulo 9:
2^1equiv2,2^2equiv4,2^3equiv8,2^4equiv7,2^5equiv5,2^6equiv1pmod9
Como obtivemos os seis elementos distintos antes de voltar a 1, a ordem de 2 é 6, logo 2 gera todo o grupo e (Z9^*,cdot) é cíclico.

Passo 3

Agora analisamos (Z8^*,cdot). Temos
Z8^*=1,3,5,7,
e varphi(8)=4. Para ser cíclico, precisaríamos de um elemento de ordem 4.
Calculando, por exemplo, potências de 3:
3^1equiv3,3^2equiv1pmod8,
lgo a ordem de 3 é 2. De modo análogo verifica-se que 5 e 7 também têm ordem 2.
Não há, portanto, elemento de ordem 4 em Z8^*, de modo que (Z8^*,cdot) não é cíclico.

Resposta

O grupo (\mathbb{Z}_9^,\cdot) é cíclico (ex.: gerado por 2) e o grupo (\mathbb{Z}_8^,\cdot) não é cíclico.

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