Verifique se
é subgrupo de
quando:
e
.
Passo 1
O enunciado dá o grupo
(os reais com adição) e o subconjunto
A pergunta é: verificar se
é subgrupo de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Operação em
é a adição usual dos reais. - Elementos de
têm a forma com números racionais. - É preciso decidir se
contém a identidade do grupo, se é fechado pela operação e se contém inversos (ou usar um critério equivalente de subgrupo).
Passo 2
Lembrete didático (critério prático para subgrupos em grupos aditivos): para
com operação soma, um subconjunto
é subgrupo de
se e somente se
for não vazio e fechado por subtração, isto é, se para quaisquer
vale
.
Explicação rápida do porquê: se não é vazio e sempre que
temos
, então tomando
obtemos
(identidade), e tomando
ou diretamente
vemos que todo elemento tem inverso em
; a clausura por adição também decorre porque
e
. Esse critério reduz as verificações necessárias e é muito usado em provas de subgrupo no contexto aditivo.
Explicação rápida do porquê: se
Passo 3
Verificar que
é não vazio: como
, podemos tomar
e
. Assim
Portanto
contém a identidade aditiva
e é não vazio.
Passo 4
Verificar fechamento por subtração (a parte essencial): tome dois elementos arbitrários de
,
com
. Calcule a diferença
Agora,
e
porque a diferença de números racionais é racional. Logo
tem a forma exigida para pertencer a
. Assim, para quaisquer
temos
:
é fechado por subtração.
Passo 5
Conclusão a partir dos passos anteriores:
é não vazio e fechado por subtração, logo pela propriedade mencionada no Passo 2,
é subgrupo de
. (Como reforço, pode-se ver também diretamente: soma e inverso de um elemento de
permanecem em
, porque somas e sinais trocados preservam coeficientes racionais.)
Resposta
Sim,
é subgrupo de
.