Verifique se H é subgrupo de G quando:
G=(\mathbb{R},+) e H=\{a+b \sqrt{2} ; a, b \in \mathbb{Q}\}.

Passo 1

O enunciado dá o grupo G=(\mathbb{R},+) (os reais com adição) e o subconjunto
H=\{a+b\sqrt{2} \mid a,b\in\mathbb{Q}\}.
A pergunta é: verificar se H é subgrupo de G.
Informações relevantes fornecidas:
  • Operação em G é a adição usual dos reais.
  • Elementos de H têm a forma a+b\sqrt{2} com a,b números racionais.
  • É preciso decidir se H contém a identidade do grupo, se é fechado pela operação e se contém inversos (ou usar um critério equivalente de subgrupo).

Passo 2

Lembrete didático (critério prático para subgrupos em grupos aditivos): para G com operação soma, um subconjunto H\subseteq G é subgrupo de G se e somente se H for não vazio e fechado por subtração, isto é, se para quaisquer x,y\in H vale x-y\in H.
Explicação rápida do porquê: se H não é vazio e sempre que x,y\in H temos x-y\in H, então tomando x=y obtemos 0=x-x\in H (identidade), e tomando y=0 ou diretamente 0-x=-x vemos que todo elemento tem inverso em H; a clausura por adição também decorre porque x+y = x-(-y) e -y\in H. Esse critério reduz as verificações necessárias e é muito usado em provas de subgrupo no contexto aditivo.

Passo 3

Verificar que H é não vazio: como 0\in\mathbb{Q}, podemos tomar a=0 e b=0. Assim
0 = 0 + 0\sqrt{2}\in H.
Portanto H contém a identidade aditiva 0 e é não vazio.

Passo 4

Verificar fechamento por subtração (a parte essencial): tome dois elementos arbitrários de H,
x = a + b\sqrt{2},\qquad y = c + d\sqrt{2},
com a,b,c,d\in\mathbb{Q}. Calcule a diferença
x-y = (a-c) + (b-d)\sqrt{2}.
Agora, a-c\in\mathbb{Q} e b-d\in\mathbb{Q} porque a diferença de números racionais é racional. Logo x-y tem a forma exigida para pertencer a H. Assim, para quaisquer x,y\in H temos x-y\in H: H é fechado por subtração.

Passo 5

Conclusão a partir dos passos anteriores: H é não vazio e fechado por subtração, logo pela propriedade mencionada no Passo 2, H é subgrupo de (\mathbb{R},+). (Como reforço, pode-se ver também diretamente: soma e inverso de um elemento de H permanecem em H, porque somas e sinais trocados preservam coeficientes racionais.)

Resposta

Sim, H é subgrupo de G=(\mathbb{R},+).

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