Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
\int_{-3}^{3} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique o sinal (positivo, negativo ou zero) de \displaystyle \int_{-3}^{3} x^{2}\,dx sem calcular a integral.
Dados fornecidos: a função integranda é \,x^{2}\, e o intervalo de integração é [-3,3]. A pergunta é apenas: o valor da integral é positivo, negativo ou zero?

Passo 2

Interpretação básica do que a integral definida representa: \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx é a “área algébrica” sob o gráfico de f entre x=a e x=b. Se f(x)\ge 0 em todo o intervalo e não é identicamente zero, a integral é positiva. Se f(x)\le 0 em todo o intervalo e não é identicamente zero, a integral é negativa. Se f muda de sinal, partes podem se cancelar.

Passo 3

Análise do integrando \,x^{2}\,: para todo número real x vale \,x^{2}\ge 0. Além disso, \,x^{2}=0 somente quando x=0. Logo, em [-3,3] temos \,x^{2}\ge 0 para todo x, e existem pontos (na verdade intervalos) em que \,x^{2}>0.

Passo 4

Para demonstrar de forma elementar que a integral é estritamente positiva, basta encontrar um subintervalo onde x^{2} é uniformemente maior que zero. Por exemplo, para todo x\in[1,2] temos \,x^{2}\ge 1. Portanto
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx \ge \int_{1}^{2} 1\,dx = 1.
Como a integral em [1,2] já é \ge 1>0, a integral total em [-3,3] (que contém esse subintervalo) também deve ser positiva.

Passo 5

Comentário alternativo (simetria): \,x^{2} é uma função par (ou seja, x^{2}=(-x)^{2}), daí
\int_{-3}^{3} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{3} x^{2}\,dx.
Como x^{2}>0 em (0,3], temos \int_{0}^{3} x^{2}\,dx>0, logo a integral original é positiva. (Isso reafirma o resultado do passo anterior sem calculá-la.)

Passo 6

Conclusão final: a função é não negativa em todo o intervalo e positiva em subintervalos de medida positiva, por isso a integral definida é estritamente positiva.

Resposta

Positivo

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