Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique o sinal (positivo, negativo ou zero) de
sem calcular a integral.
Dados fornecidos: a função integranda é e o intervalo de integração é
. A pergunta é apenas: o valor da integral é positivo, negativo ou zero?
Dados fornecidos: a função integranda é
Passo 2
Interpretação básica do que a integral definida representa:
é a “área algébrica” sob o gráfico de
entre
e
. Se
em todo o intervalo e não é identicamente zero, a integral é positiva. Se
em todo o intervalo e não é identicamente zero, a integral é negativa. Se
muda de sinal, partes podem se cancelar.
Passo 3
Análise do integrando
: para todo número real
vale
. Além disso,
somente quando
. Logo, em
temos
para todo
, e existem pontos (na verdade intervalos) em que
.
Passo 4
Para demonstrar de forma elementar que a integral é estritamente positiva, basta encontrar um subintervalo onde
é uniformemente maior que zero. Por exemplo, para todo
temos
. Portanto
Como a integral em
já é
, a integral total em
(que contém esse subintervalo) também deve ser positiva.
Passo 5
Comentário alternativo (simetria):
é uma função par (ou seja,
), daí
Como
em
, temos
, logo a integral original é positiva. (Isso reafirma o resultado do passo anterior sem calculá-la.)
Passo 6
Conclusão final: a função é não negativa em todo o intervalo e positiva em subintervalos de medida positiva, por isso a integral definida é estritamente positiva.
Resposta
Positivo