Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar convergência e, se possível, calcular o valor da integral imprópria
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=\,x^{-1/3}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,-1], ou seja, o limite inferior é infinito (integral imprópria por limite infinito).
  • A tarefa: decidir se a integral converge; se converge, calcular o valor; se diverge, dizer em que sentido diverge (para \pm\infty ou não existe limite).

Passo 2

Definição apropriada para este caso (integral imprópria por limite infinito):
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx :=\lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx,
ou seja, avalia-se a integral propriamente dita de A até -1 e depois toma-se o limite quando A vai para -\infty. Se esse limite existir e for finito, a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Observação sobre a função para x<0: a raiz cúbica está bem definida para números negativos e \sqrt[3]{-u}=-\sqrt[3]{u} para u>0. Para simplificar a análise, fazemos a substituição que transforma o limite infinito em um limite positivo padrão. Seja x=-u. Então:
  • quando x=A (com A<-1), u=-A>1;
  • quando x=-1, u=1;
  • dx=-du;
  • \sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-u}=-\sqrt[3]{u}.
Substituindo na integral propriamente dita:
\int_{A}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx = \int_{u=-A}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{-u}}(-du) = \int_{-A}^{1} \left(-\frac{1}{\sqrt[3]{u}}\right)(-du) = \int_{-A}^{1} u^{-1/3}\,du.
Repare que para A<-1 temos -A>1, assim podemos escrever equivalently
\int_{A}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx = -\int_{1}^{-A} u^{-1/3}\,du.

Passo 4

Agora passe ao limite A\to -\infty. Como -A\to\infty, obtemos
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx = \lim_{A\to -\infty}\left(-\int_{1}^{-A} u^{-1/3}\,du\right) = -\int_{1}^{\infty} u^{-1/3}\,du,
desde que o segundo integral propriamente dito tenha sentido. Vamos calcular \int_{1}^{R} u^{-1/3}\,du e depois ver o comportamento quando R\to\infty. Uma primitiva de u^{-1/3} é dada por:
\int u^{-1/3}\,du = \frac{u^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}\,u^{2/3}.
Portanto, para R>1,
\int_{1}^{R} u^{-1/3}\,du = \frac{3}{2}\bigl(R^{2/3}-1\bigr).

Passo 5

Agora tomamos o limite R\to\infty:
\lim_{R\to\infty} \int_{1}^{R} u^{-1/3}\,du = \lim_{R\to\infty} \frac{3}{2}\bigl(R^{2/3}-1\bigr).
Como R^{2/3}\to\infty quando R\to\infty, o limite acima é +\infty. Logo
\int_{1}^{\infty} u^{-1/3}\,du = +\infty.
Voltando à expressão obtida no Passo 4,
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx = -\int_{1}^{\infty} u^{-1/3}\,du = -\infty.
Portanto a integral não converge para um número finito; ela diverge e o seu valor tende a -\infty.

Passo 6

Interpretação alternativa rápida (teste-p): para x com grande módulo, a magnitude da integranda se comporta como |x|^{-1/3}. O teste-p para integrais do tipo \int_{1}^{\infty} t^{-p}\,dt diz que converge somente se p>1. Aqui o expoente é p=\tfrac{1}{3}<1, então a integral no infinito diverge, concordando com o cálculo anterior. A diferença de sinal veio do fato de que a função é negativa em x<0, por isso diverge para -\infty.

Resposta

Diverge; mais precisamente, \displaystyle\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx=-\infty.

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