Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar convergência e, se possível, calcular o valor da integral imprópria
Informações dadas e objetivo:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, o limite inferior é infinito (integral imprópria por limite infinito). - A tarefa: decidir se a integral converge; se converge, calcular o valor; se diverge, dizer em que sentido diverge (para
ou não existe limite).
Passo 2
Definição apropriada para este caso (integral imprópria por limite infinito):
ou seja, avalia-se a integral propriamente dita de
até
e depois toma-se o limite quando
vai para
. Se esse limite existir e for finito, a integral converge; caso contrário, diverge.
Passo 3
Observação sobre a função para
: a raiz cúbica está bem definida para números negativos e
para
. Para simplificar a análise, fazemos a substituição que transforma o limite infinito em um limite positivo padrão. Seja
. Então:
- quando
(com ), ; - quando
, ; -
; -
.
Substituindo na integral propriamente dita:
Repare que para
temos
, assim podemos escrever equivalently
Passo 4
Agora passe ao limite
. Como
, obtemos
desde que o segundo integral propriamente dito tenha sentido. Vamos calcular
e depois ver o comportamento quando
. Uma primitiva de
é dada por:
Portanto, para
,
Passo 5
Agora tomamos o limite
:
Como
quando
, o limite acima é
. Logo
Voltando à expressão obtida no Passo 4,
Portanto a integral não converge para um número finito; ela diverge e o seu valor tende a
.
Passo 6
Interpretação alternativa rápida (teste-p): para
com grande módulo, a magnitude da integranda se comporta como
. O teste-p para integrais do tipo
diz que converge somente se
. Aqui o expoente é
, então a integral no infinito diverge, concordando com o cálculo anterior. A diferença de sinal veio do fato de que a função é negativa em
, por isso diverge para
.
Resposta
Diverge; mais precisamente,
.