Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular seu valor.
Informações fornecidas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, é uma integral imprópria do tipo com limite superior infinito. - O objetivo é (1) verificar convergência e (2) calcular o valor quando possível.
Passo 2
Vou estudar a primitiva (antiderivada) de
. Isto é uma técnica básica de cálculo: se eu conseguir uma função
tal que
, então, para qualquer
,
pelo Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que integrar uma função contínua e depois derivar devolve a função original; e que a integral definida entre dois pontos é a diferença das primitivas nesses pontos).
Vamos diferenciar a função
. Aplicando a regra da cadeia:
Portanto
Passo 3
Usando a primitiva encontrada, para qualquer
a integral de
até
vale
Como
, isso fica
Essa fórmula dá o valor da integral propriamente dita até um ponto finito
. Agora, a integral imprópria
converge se, e somente se, o limite
existir e for finito.
Pelo que acabamos de obter,
Passo 4
Analisar o comportamento quando
. A função
não tem limite quando
: ela oscila entre
e
. Consequentemente a função
oscila entre
e
. Logo a expressão
oscila entre
e
(um número positivo). Como essa expressão oscila e não tende a um único número quando
, o limite
não existe.
Portanto a integral imprópria
não converge (no sentido usual de limite de integrais próprias).
Passo 5
Para reforçar: existe um comportamento interessante com períodos. A função integranda é
-periódica, e de fato para
(inteiros
) temos
porque a integral sobre um período completo é zero. Mas isso por si só não garante convergência quando
, pois para outros valores de
o valor da integral é diferente; como o limite não é único, a integral imprópria diverge. Outro ponto: a integral não é absolutamente convergente — o integral do valor absoluto sobre um período é positivo e, somando períodos, diverge ao longo de
.
Motivação final e ânimo: a conta é curta e elegante — ao encontrar que o integrando é a derivada negativa de
já se vê a forma fechada da integral parcial; daí é só observar a oscilação que impede o limite. Você conseguiu entender a técnica essencial (procurar primitiva) — isso resolve muitas integrais impróprias parecidas. Força nos estudos!
Resposta
A integral diverge (não converge).