Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{0}^{\infty} \sin \theta e^{\cos \theta} d \theta

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \sin\theta\,e^{\cos\theta}\,d\theta
é convergente e, se for, calcular seu valor.
Informações fornecidas:
  • A função integranda é f(\theta)=\sin\theta\,e^{\cos\theta}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), ou seja, é uma integral imprópria do tipo com limite superior infinito.
  • O objetivo é (1) verificar convergência e (2) calcular o valor quando possível.

Passo 2

Vou estudar a primitiva (antiderivada) de f(\theta)=\sin\theta\,e^{\cos\theta}. Isto é uma técnica básica de cálculo: se eu conseguir uma função F(\theta) tal que F'(\theta)=f(\theta), então, para qualquer A>0,
\int_{0}^{A} \sin\theta\,e^{\cos\theta}\,d\theta = F(A)-F(0)
pelo Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que integrar uma função contínua e depois derivar devolve a função original; e que a integral definida entre dois pontos é a diferença das primitivas nesses pontos).
Vamos diferenciar a função G(\theta)=e^{\cos\theta}. Aplicando a regra da cadeia:
G'(\theta) = \frac{d}{d\theta} e^{\cos\theta} = e^{\cos\theta}\cdot\frac{d}{d\theta}(\cos\theta) = e^{\cos\theta}\cdot(-\sin\theta) = -\sin\theta\,e^{\cos\theta}.
Portanto
\sin\theta\,e^{\cos\theta} = -G'(\theta) = -\frac{d}{d\theta}\bigl(e^{\cos\theta}\bigr).

Passo 3

Usando a primitiva encontrada, para qualquer A>0 a integral de 0 até A vale
\int_{0}^{A} \sin\theta\,e^{\cos\theta}\,d\theta = -\bigl[e^{\cos\theta}\bigr]_{0}^{A} = -\bigl(e^{\cos A}-e^{\cos 0}\bigr).
Como \cos 0=1, isso fica
\int_{0}^{A} \sin\theta\,e^{\cos\theta}\,d\theta = -e^{\cos A}+e^{1} = e - e^{\cos A}.
Essa fórmula dá o valor da integral propriamente dita até um ponto finito A. Agora, a integral imprópria \int_{0}^{\infty} converge se, e somente se, o limite
\lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} \sin\theta\,e^{\cos\theta}\,d\theta
existir e for finito.
Pelo que acabamos de obter,
\int_{0}^{A} \sin\theta\,e^{\cos\theta}\,d\theta = e - e^{\cos A}.

Passo 4

Analisar o comportamento quando A\to\infty. A função \cos A não tem limite quando A\to\infty: ela oscila entre -1 e 1. Consequentemente a função e^{\cos A} oscila entre e^{-1} e e^{1}. Logo a expressão
e - e^{\cos A}
oscila entre e - e^{1}=0 e e - e^{-1} (um número positivo). Como essa expressão oscila e não tende a um único número quando A\to\infty, o limite
\lim_{A\to\infty}\bigl(e - e^{\cos A}\bigr)
não existe.
Portanto a integral imprópria \int_{0}^{\infty}\sin\theta\,e^{\cos\theta}\,d\theta não converge (no sentido usual de limite de integrais próprias).

Passo 5

Para reforçar: existe um comportamento interessante com períodos. A função integranda é 2\pi-periódica, e de fato para A=2\pi n (inteiros n) temos
\int_{0}^{2\pi n}\sin\theta\,e^{\cos\theta}\,d\theta = n\cdot 0 = 0,
porque a integral sobre um período completo é zero. Mas isso por si só não garante convergência quando A\to\infty, pois para outros valores de A o valor da integral é diferente; como o limite não é único, a integral imprópria diverge. Outro ponto: a integral não é absolutamente convergente — o integral do valor absoluto sobre um período é positivo e, somando períodos, diverge ao longo de [0,\infty).
Motivação final e ânimo: a conta é curta e elegante — ao encontrar que o integrando é a derivada negativa de e^{\cos\theta} já se vê a forma fechada da integral parcial; daí é só observar a oscilação que impede o limite. Você conseguiu entender a técnica essencial (procurar primitiva) — isso resolve muitas integrais impróprias parecidas. Força nos estudos!

Resposta

A integral diverge (não converge).

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