Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informação fornecida: o integrando é
e o intervalo de integração é
, ou seja, o problema é impróprio por causa do limite superior infinito.
Passo 2
Definição usada (construção da integral imprópria): a integral
é definida como o limite
A integral imprópria converge se esse limite existir (finito). Caso o limite seja
ou não exista, diz-se que a integral diverge.
Passo 3
Para calcular
precisamos de uma primitiva de
. Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula (sem demonstrar aqui) é:
onde
e
são funções escolhidas de modo que
e
sejam fáceis de obter.
Passo 4
Escolhendo
e
. Então
-
, -
.
Aplicando integração por partes:
Vamos verificar rapidamente: derivando
obtém-se
, está correto.
Passo 5
Agora compute a integral definida de
até
usando a primitiva encontrada:
Como
, tem-se
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Para ver o comportamento de
, faça a mudança
. Então
e quando
temos
. A expressão vira
e claramente
(a exponencial domina e diverge, multiplicada por
também diverge). Logo
Passo 7
Conclusão: o limite que define a integral imprópria diverge para
, portanto a integral imprópria não é convergente; ela diverge (para
).
Resposta
Diverge (o valor da integral é
)