Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{1}^{\infty} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \ln x \, dx
é convergente ou divergente. Informação fornecida: o integrando é \ln x e o intervalo de integração é [1,\infty), ou seja, o problema é impróprio por causa do limite superior infinito.

Passo 2

Definição usada (construção da integral imprópria): a integral \int_{1}^{\infty} \ln x \, dx é definida como o limite
\int_{1}^{\infty} \ln x \, dx=\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R}\ln x \, dx.
A integral imprópria converge se esse limite existir (finito). Caso o limite seja +\infty ou não exista, diz-se que a integral diverge.

Passo 3

Para calcular \int_{1}^{R}\ln x \, dx precisamos de uma primitiva de \ln x. Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula (sem demonstrar aqui) é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções escolhidas de modo que du e v sejam fáceis de obter.

Passo 4

Escolhendo u=\ln x e dv=dx. Então
  • du=\dfrac{1}{x}\,dx,
  • v=x.
Aplicando integração por partes:
\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.
Vamos verificar rapidamente: derivando x\ln x - x obtém-se \ln x + 1 - 1 = \ln x, está correto.

Passo 5

Agora compute a integral definida de 1 até R usando a primitiva encontrada:
\int_{1}^{R}\ln x \, dx = \bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{R} = \bigl(R\ln R - R\bigr) - \bigl(1\cdot\ln 1 - 1\bigr).
Como \ln 1=0, tem-se
\int_{1}^{R}\ln x \, dx = R\ln R - R + 1.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando R\to\infty:
\lim_{R\to\infty}\bigl(R\ln R - R + 1\bigr)=\lim_{R\to\infty}R(\ln R - 1) + 1.
Para ver o comportamento de R(\ln R -1), faça a mudança t=\ln R. Então R=e^{t} e quando R\to\infty temos t\to\infty. A expressão vira
e^{t}(t-1),
e claramente \lim_{t\to\infty}e^{t}(t-1)=+\infty (a exponencial domina e diverge, multiplicada por t também diverge). Logo
\lim_{R\to\infty}\bigl(R\ln R - R + 1\bigr)=+\infty.

Passo 7

Conclusão: o limite que define a integral imprópria diverge para +\infty, portanto a integral imprópria não é convergente; ela diverge (para +\infty).

Resposta

Diverge (o valor da integral é +\infty)

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