Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular o seu valor.
Informações dadas: o integrando é e o intervalo de integração é
.
Informações dadas: o integrando é
Passo 2
O que significa "integral imprópria em
"?
Por definição,
Por definição,
ou seja, calcula-se a integral até um limite finito
e depois toma-se o limite quando
cresce sem limite. Se esse limite existir e for finito, diz-se que a integral converge; caso contrário, diverge.
Passo 3
Primeiro simplificamos o integrando escrevendo em potências de
. Dividindo termo a termo:
Pela linearidade da integral, podemos escrever
Logo basta estudar a convergência e calcular cada uma das três integrais separadamente.
Passo 4
Usamos o teste padrão para integrais do tipo
. Para
a primitiva é
e avaliando entre
e
e tomando
encontra-se que a integral converge se, e só se,
. Nesse caso o valor é
Agora aplique isso aos três termos:
- Para
(termo ): como , a integral converge e
- Para
(termo ): como , a integral converge e
- Para
(termo ): como , a integral converge e
Cada uma das três integrais converge, portanto a integral original converge (soma de quantidades finitas).
Passo 5
Somando os três resultados obtemos o valor da integral: