Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}+x+1}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}+x+1}{x^{4}}\,dx
é convergente e, se for, calcular o seu valor.
Informações dadas: o integrando é \dfrac{x^{2}+x+1}{x^{4}} e o intervalo de integração é [1,\infty).

Passo 2

O que significa "integral imprópria em [1,\infty)"?
Por definição,
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R} f(x)\,dx,
ou seja, calcula-se a integral até um limite finito R e depois toma-se o limite quando R cresce sem limite. Se esse limite existir e for finito, diz-se que a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Primeiro simplificamos o integrando escrevendo em potências de x. Dividindo termo a termo:
\frac{x^{2}+x+1}{x^{4}} = x^{-2}+x^{-3}+x^{-4}.
Pela linearidade da integral, podemos escrever
\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}+x+1}{x^{4}}\,dx = \int_{1}^{\infty} x^{-2}\,dx + \int_{1}^{\infty} x^{-3}\,dx + \int_{1}^{\infty} x^{-4}\,dx.
Logo basta estudar a convergência e calcular cada uma das três integrais separadamente.

Passo 4

Usamos o teste padrão para integrais do tipo \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx. Para p\neq1 a primitiva é
\int x^{-p}\,dx = \frac{x^{-p+1}}{-p+1},
e avaliando entre 1 e R e tomando R\to\infty encontra-se que a integral converge se, e só se, p>1. Nesse caso o valor é
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \frac{1}{p-1}.
Agora aplique isso aos três termos:
  • Para p=2 (termo x^{-2}): como 2>1, a integral converge e
\int_{1}^{\infty} x^{-2}\,dx = \frac{1}{2-1} = 1.
  • Para p=3 (termo x^{-3}): como 3>1, a integral converge e
\int_{1}^{\infty} x^{-3}\,dx = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}.
  • Para p=4 (termo x^{-4}): como 4>1, a integral converge e
\int_{1}^{\infty} x^{-4}\,dx = \frac{1}{4-1} = \frac{1}{3}.
Cada uma das três integrais converge, portanto a integral original converge (soma de quantidades finitas).

Passo 5

Somando os três resultados obtemos o valor da integral:
\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}+x+1}{x^{4}}\,dx = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}.

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}+x+1}{x^{4}}\,dx = \frac{11}{6}

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