Para decidir convergência, podemos (i) encontrar uma primitiva e analisar esse limite ou (ii) usar testes de comparação/assintóticos. Vou fazer ambos para ficar bem claro.
Passo 3
Cálculo da primitiva por substituição (método direto). Proponho a substituição
u = x^{2}-1.
Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Para x\to\infty temos \tfrac{1}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}}\to 1. Assim a integranda tende a 1 quando x\to\infty. Como \int_{2}^{\infty} 1\,dx diverge (vai para +\infty), e a nossa função tende a 1 e é comparável a 1 para x grande, isso já indica divergência por comparação (uma função que se aproxima de constante positiva gera integral divergente no infinito). Isso confirma o resultado do cálculo com a primitiva.
Passo 7
Conclusão final amigável: a integral imprópria não converge; ela diverge e seu valor é infinito.