Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{2}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx
é convergente e, se possível, calcular o seu valor. Informações dadas:
  • Limites de integração: inferior 2 e superior +\infty (logo é uma integral imprópria por intervalo ilimitado).
  • Função integranda: f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}, definida para x>1 (portanto está bem definida em todo o intervalo [2,\infty)).

Passo 2

Entender o que significa “integral imprópria” aqui e como testá-la.
Uma integral com limite superior infinito é definida como limite:
\int_{2}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx \equiv \lim_{R\to\infty}\int_{2}^{R} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Para decidir convergência, podemos (i) encontrar uma primitiva e analisar esse limite ou (ii) usar testes de comparação/assintóticos. Vou fazer ambos para ficar bem claro.

Passo 3

Cálculo da primitiva por substituição (método direto). Proponho a substituição
u = x^{2}-1.
Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral indefinida,
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du.
Agora integro a potência:
\frac{1}{2}\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du = \frac{1}{2}\cdot\left( \frac{u^{\tfrac{1}{2}}}{\tfrac{1}{2}} \right) + C = u^{\tfrac{1}{2}} + C.
Voltando à variável x,
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \sqrt{x^{2}-1} + C.
Portanto a primitiva é F(x)=\sqrt{x^{2}-1}.

Passo 4

Avaliar a integral definida como limite usando a primitiva. Para R>2,
\int_{2}^{R} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \left.\sqrt{x^{2}-1}\right|_{x=2}^{x=R} = \sqrt{R^{2}-1}-\sqrt{2^{2}-1}.
Como \sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3}, obtemos
\int_{2}^{R} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \sqrt{R^{2}-1}-\sqrt{3}.

Passo 5

Tomar o limite quando R\to\infty:
\lim_{R\to\infty}\big(\sqrt{R^{2}-1}-\sqrt{3}\big).
Como \sqrt{R^{2}-1}\sim R quando R\to\infty, esse limite é +\infty. Logo a integral diverge para +\infty (não tem valor finito).

Passo 6

Teste alternativo (intuição e comparação): analisar o comportamento da integranda para x grande.
\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{x}{x\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}}.
Para x\to\infty temos \tfrac{1}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}}\to 1. Assim a integranda tende a 1 quando x\to\infty. Como \int_{2}^{\infty} 1\,dx diverge (vai para +\infty), e a nossa função tende a 1 e é comparável a 1 para x grande, isso já indica divergência por comparação (uma função que se aproxima de constante positiva gera integral divergente no infinito). Isso confirma o resultado do cálculo com a primitiva.

Passo 7

Conclusão final amigável: a integral imprópria não converge; ela diverge e seu valor é infinito.

Resposta

Diverge para +\infty.

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