Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
-
Pede verificar se a integral imprópriaé convergente e, caso seja, calcular seu valor.
-
Informações dadas:
- Integração no intervalo
(limite superior infinito) — portanto é uma integral imprópria por causa do infinito. - A função integranda é
.
- Integração no intervalo
Passo 2
Análise de possíveis problemas de convergência (onde a integral pode “dar ruim”):
-
Pontos a verificar para integrais impróprias:
- Descontinuidade(s) do integrando no intervalo de integração.
- Comportamento quando o limite de integração tende a infinito.
-
Aqui, para
temos , então é contínua em todo . Não há singularidade em . -
Resta apenas avaliar o comportamento quando
. Uma maneira intuitiva é comparar com uma função conhecida: para grande, domina 1, então Comoé convergente, isso sugere que nossa integral também é convergente. Mas vamos fazer a conta exatamente usando antiderivada (método direto), que é mais limpo e fornece o valor.
Passo 3
Encontrar a antiderivada (explicando passo a passo):
-
Método: substituição simples. Observe que a derivada de
é . Isso é a dica clássica: quando no integrando aparece e também uma função de , é natural pôr Explicando a substituição: define-secomo uma nova variável que “reúne” a parte complicada. Depois relaciona-se com . -
Calcule
: Portanto. -
Reescrevendo a integral com
: Aqui foi usada a substituição direta:virou e virou . -
Calcule a integral indefinida de
: (Regra usada:para . Aqui .) -
Volte para a variável
: como , Verificação rápida pela regra da cadeia: derivandoobtemos , ok.
Passo 4
Calcular a integral definida imprópria como limite:
-
Defina a integral própria até um valor finito
: -
Use a antiderivada encontrada:
-
Calcule os termos:
-
então - Para
, então .
-
-
Portanto, tomando limite
,
Passo 5
Interpretação final e incentivo:
- Concluímos que a integral imprópria é convergente porque a antiderivada leva a um limite finito quando a cota superior tende a infinito.
- Resultado final (memorizável): muitas vezes funções do tipo
têm antiderivadas simples por substituição ; esse padrão é útil para reconhecer rapidamente integrais parecidas na prova. Força aí — com esse truque dá para salvar tempo!
Resposta
Convergente