Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede verificar se a integral imprópria
    \int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}\,dx
    é convergente e, caso seja, calcular seu valor.
  • Informações dadas:
    • Integração no intervalo [0,\infty) (limite superior infinito) — portanto é uma integral imprópria por causa do infinito.
    • A função integranda é \displaystyle f(x)=\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}.

Passo 2

Análise de possíveis problemas de convergência (onde a integral pode “dar ruim”):
  • Pontos a verificar para integrais impróprias:
    1. Descontinuidade(s) do integrando no intervalo de integração.
    2. Comportamento quando o limite de integração tende a infinito.
  • Aqui, para x\ge0 temos 1+e^{x}>0, então f(x) é contínua em todo [0,\infty). Não há singularidade em x=0.
  • Resta apenas avaliar o comportamento quando x\to\infty. Uma maneira intuitiva é comparar com uma função conhecida: para x grande, e^{x} domina 1, então
    \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\approx\frac{e^{x}}{(e^{x})^{2}}=e^{-x}.
    Como \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx é convergente, isso sugere que nossa integral também é convergente. Mas vamos fazer a conta exatamente usando antiderivada (método direto), que é mais limpo e fornece o valor.

Passo 3

Encontrar a antiderivada (explicando passo a passo):
  • Método: substituição simples. Observe que a derivada de 1+e^{x} é e^{x}. Isso é a dica clássica: quando no integrando aparece e^{x}\,dx e também uma função de 1+e^{x}, é natural pôr
    u = 1+e^{x}.
    Explicando a substituição: define-se u como uma nova variável que “reúne” a parte complicada. Depois relaciona-se du com dx.
  • Calcule du:
    u = 1+e^{x}\qquad\Rightarrow\qquad du = e^{x}\,dx.
    Portanto e^{x}\,dx = du.
  • Reescrevendo a integral com u:
    \int \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\,du.
    Aqui foi usada a substituição direta: e^{x}\,dx virou du e (1+e^{x})^{2} virou u^{2}.
  • Calcule a integral indefinida de \displaystyle u^{-2}:
    \int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u}+C.
    (Regra usada: \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aqui n=-2.)
  • Volte para a variável x: como u=1+e^{x},
    \int \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\,dx = -\frac{1}{1+e^{x}} + C.
    Verificação rápida pela regra da cadeia: derivando -\dfrac{1}{1+e^{x}} obtemos -(-1)(1+e^{x})^{-2}\cdot e^{x} = \dfrac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}, ok.

Passo 4

Calcular a integral definida imprópria como limite:
  • Defina a integral própria até um valor finito R>0:
    I(R)=\int_{0}^{R} \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\,dx.
  • Use a antiderivada encontrada:
    I(R)=\left[-\frac{1}{1+e^{x}}\right]_{0}^{R} = -\frac{1}{1+e^{R}} -\left(-\frac{1}{1+e^{0}}\right).
  • Calcule os termos:
    • e^{0}=1 então -\left(-\dfrac{1}{1+e^{0}}\right)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.
    • Para R\to\infty, e^{R}\to\infty então \dfrac{1}{1+e^{R}}\to 0.
  • Portanto, tomando limite R\to\infty,
    \int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\,dx = \lim_{R\to\infty} I(R) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação final e incentivo:
  • Concluímos que a integral imprópria é convergente porque a antiderivada leva a um limite finito quando a cota superior tende a infinito.
  • Resultado final (memorizável): muitas vezes funções do tipo \dfrac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}} têm antiderivadas simples por substituição u=1+e^{x}; esse padrão é útil para reconhecer rapidamente integrais parecidas na prova. Força aí — com esse truque dá para salvar tempo!

Resposta

Convergente
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\,dx = \frac{1}{2}

Exercícios relacionados