Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria abaixo é convergente e, se possível, calcular seu valor:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O intervalo de integração é
, logo a integral é imprópria por causa do limite inferior infinito. - A integranda é
. Note que a função tem uma singularidade em (não está definida aí), mas o ponto não pertence ao intervalo de integração . - O que se deve responder: determinar se a integral converge (ou diverge) e, se convergente, calcular o valor numérico.
Passo 2
Definição operacional que vamos usar (forma padrão para integrar sobre um limite infinito): a integral imprópria com limite inferior
é definida como o limite
se esse limite existir e for finito. Portanto, para decidir convergência calculamos
e depois tomamos o limite quando
.
Passo 3
Primeiro simplificar a integranda por álgebra elementar (isso facilita integrar termo a termo). Dividindo cada termo do numerador por
obtemos:
Assim podemos escrever
Essa separação é válida porque as integrais das funções individuais existirão (ou não) de forma independente e podemos somá-las se os limites forem finitos.
Passo 4
Calcular antiderivadas termo a termo (aqui uma pequena aula rápida sobre integrais básicas):
- Para
a primitiva é . Lembre que usamos valor absoluto porque é a extensão para . - Para
a primitiva é , porque para .
Portanto uma primitiva da soma é
Passo 5
Aplicar a definição da integral imprópria como limite. Primeiro a integral entre
e
:
Calcular
e
:
Logo
Agora tomamos o limite quando
. Observações sobre os termos:
-
quando , então . -
quando .
Portanto
Como o limite não é um número finito, a integral diverge. Mais exatamente, o valor do integral tende a
.
Um comentário didático rápido: a presença do termo
faz com que a integral sobre
diverja logaritmicamente (situação típica:
converge apenas se
; aqui o termo
tem
, portanto não é suficiente para convergência).
Passo 6
Conclusão clara e incentivadora: a integral não tem um valor finito — ela diverge (vai até
). Isso significa que na prova deve-se responder que a integral é divergente e, se pedirem justificativa, apresentar o cálculo via limite mostrado acima. Boa! Você já entendeu onde veio a divergência: do termo
que decai devagar demais quando se estende até
.
Resposta
A integral é divergente (tende a
).