Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-\infty}^{-1} \frac{x^{2}+x}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria abaixo é convergente e, se possível, calcular seu valor:
\int_{-\infty}^{-1} \frac{x^{2}+x}{x^{3}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O intervalo de integração é (-\infty,-1], logo a integral é imprópria por causa do limite inferior infinito.
  • A integranda é \dfrac{x^{2}+x}{x^{3}}. Note que a função tem uma singularidade em x=0 (não está definida aí), mas o ponto x=0 não pertence ao intervalo de integração (-\infty,-1].
  • O que se deve responder: determinar se a integral converge (ou diverge) e, se convergente, calcular o valor numérico.

Passo 2

Definição operacional que vamos usar (forma padrão para integrar sobre um limite infinito): a integral imprópria com limite inferior -\infty é definida como o limite
\int_{-\infty}^{-1} f(x)\,dx = \lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{-1} f(x)\,dx,
se esse limite existir e for finito. Portanto, para decidir convergência calculamos \int_{A}^{-1} e depois tomamos o limite quando A\to -\infty.

Passo 3

Primeiro simplificar a integranda por álgebra elementar (isso facilita integrar termo a termo). Dividindo cada termo do numerador por x^{3} obtemos:
\frac{x^{2}+x}{x^{3}}=\frac{x^{2}}{x^{3}}+\frac{x}{x^{3}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}.
Assim podemos escrever
\int_{-\infty}^{-1}\frac{x^{2}+x}{x^{3}}\,dx=\int_{-\infty}^{-1}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Essa separação é válida porque as integrais das funções individuais existirão (ou não) de forma independente e podemos somá-las se os limites forem finitos.

Passo 4

Calcular antiderivadas termo a termo (aqui uma pequena aula rápida sobre integrais básicas):
  • Para \dfrac{1}{x} a primitiva é \ln|x|. Lembre que usamos valor absoluto porque \ln|x| é a extensão para x<0.
  • Para \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2} a primitiva é -x^{-1}=-\dfrac{1}{x}, porque \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
Portanto uma primitiva da soma é
F(x)=\ln|x|-\frac{1}{x}.

Passo 5

Aplicar a definição da integral imprópria como limite. Primeiro a integral entre A e -1:
\int_{A}^{-1}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = F(-1)-F(A).
Calcular F(-1) e F(A):
F(-1)=\ln|{-1}|-\frac{1}{-1}= \ln 1 +1 = 0+1 = 1,
F(A)=\ln|A|-\frac{1}{A}.
Logo
\int_{A}^{-1}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = 1 - \big(\ln|A|-\frac{1}{A}\big) = 1 - \ln|A| + \frac{1}{A}.
Agora tomamos o limite quando A\to -\infty. Observações sobre os termos:
  • |A|\to\infty quando A\to -\infty, então \ln|A|\to\infty.
  • \dfrac{1}{A}\to 0 quando A\to -\infty.
    Portanto
\lim_{A\to -\infty}\big(1 - \ln|A| + \tfrac{1}{A}\big) = 1 - \infty + 0 = -\infty.
Como o limite não é um número finito, a integral diverge. Mais exatamente, o valor do integral tende a -\infty.
Um comentário didático rápido: a presença do termo \dfrac{1}{x} faz com que a integral sobre (-\infty,-1] diverja logaritmicamente (situação típica: \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{p}}dx converge apenas se p>1; aqui o termo 1/x tem p=1, portanto não é suficiente para convergência).

Passo 6

Conclusão clara e incentivadora: a integral não tem um valor finito — ela diverge (vai até -\infty). Isso significa que na prova deve-se responder que a integral é divergente e, se pedirem justificativa, apresentar o cálculo via limite mostrado acima. Boa! Você já entendeu onde veio a divergência: do termo 1/x que decai devagar demais quando se estende até -\infty.

Resposta

A integral é divergente (tende a -\infty).

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