Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integrando é f(x)=x e^{-x^{2}}.
  • A integral é imprópria porque os limites de integração são -\infty e +\infty.
  • É preciso decidir se os dois “ramos” da integral (para x\to-\infty e x\to+\infty) convergem e então avaliar o valor total.

Passo 2

Como tratar uma integral sobre toda a reta real: por definição
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx
é convergente se os dois limites abaixo existem finitos:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0} f(x)\,dx + \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} f(x)\,dx.
Se ambos os limites existem (são números finitos), então a integral impropria converge e vale a soma. Vou usar essa definição ao calcular.

Passo 3

Observação simples e poderosa: a função f(x)=x e^{-x^{2}} é uma função ímpar. Explico:
  • Uma função f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x.
  • Aqui,
f(-x)=(-x)e^{-(-x)^{2}} = -x e^{-x^{2}} = -f(x),
logo f é ímpar.
Propriedade útil: a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-A,A] é zero:
\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 0\quad\text{se }f\text{ é ímpar}.éí
Mas, para passar ao caso impróprio ( A\to\infty), precisamos garantir que os limites das meias-integras existam. Vou mostrar isso explicitamente calculando as meias-integras.

Passo 4

Encontro uma primitiva de f. Note que a derivada de e^{-x^{2}} é \dfrac{d}{dx}e^{-x^{2}} = -2x e^{-x^{2}}. Portanto uma primitiva de x e^{-x^{2}} é
F(x) = -\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}},
pois \dfrac{d}{dx}\!\left(-\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}}\right)=x e^{-x^{2}}.
Agora calculo as meias-integras usando F.
Para a meia-integra à direita:
\int_{0}^{b} x e^{-x^{2}}\,dx = \left[-\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}}\right]_{0}^{b} = -\tfrac{1}{2} e^{-b^{2}} -\bigl(-\tfrac{1}{2} e^{0}\bigr) = -\tfrac{1}{2} e^{-b^{2}} + \tfrac{1}{2}.
Fazendo b\to\infty, como e^{-b^{2}}\to 0, obtém-se
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} x e^{-x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}.
Para a meia-integra à esquerda:
\int_{a}^{0} x e^{-x^{2}}\,dx = \left[-\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}}\right]_{a}^{0} = -\tfrac{1}{2} e^{0} -\bigl(-\tfrac{1}{2} e^{-a^{2}}\bigr) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} e^{-a^{2}}.
Fazendo a\to -\infty, como e^{-a^{2}}\to 0, obtém-se
\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} x e^{-x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{2}.
Somando as duas meias-integras:
\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx = \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr) + \Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr) = 0.
Portanto a integral converte e seu valor é 0. Essa conclusão também corresponde à razão de simetria (função ímpar): a área positiva em x>0 cancela a área negativa em x<0.

Passo 5

Comentário adicional (útil para provas): muitas vezes é interessante verificar se a convergência é absoluta. Calculo
\int_{-\infty}^{\infty} |x| e^{-x^{2}}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx.
Faço a substituição u=x^{2}, então du=2x\,dx e para x\in[0,\infty) tem-se
\int_{0}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = \tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2}.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty} |x| e^{-x^{2}}\,dx = 2\cdot \tfrac{1}{2} = 1 < \infty.
Isso prova que a integral original converge absolutamente (o que é ainda mais forte que convergência simples). Convergência absoluta justifica também usar a propriedade de integral da primitiva sem problemas de ordenação.

Resposta

Converge absolutamente; \displaystyle 0

Exercícios relacionados