Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Informações dadas e observações iniciais:
- A função integrando é
. - A integral é imprópria porque os limites de integração são
e . - É preciso decidir se os dois “ramos” da integral (para
e ) convergem e então avaliar o valor total.
Passo 2
Como tratar uma integral sobre toda a reta real: por definição
é convergente se os dois limites abaixo existem finitos:
Se ambos os limites existem (são números finitos), então a integral impropria converge e vale a soma. Vou usar essa definição ao calcular.
Passo 3
Observação simples e poderosa: a função
é uma função ímpar. Explico:
- Uma função
é ímpar se para todo . - Aqui,
logo
é ímpar.
Propriedade útil: a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
é zero:
Mas, para passar ao caso impróprio (
), precisamos garantir que os limites das meias-integras existam. Vou mostrar isso explicitamente calculando as meias-integras.
Passo 4
Encontro uma primitiva de
. Note que a derivada de
é
. Portanto uma primitiva de
é
pois
.
Agora calculo as meias-integras usando
.
Para a meia-integra à direita:
Fazendo
, como
, obtém-se
Para a meia-integra à esquerda:
Fazendo
, como
, obtém-se
Somando as duas meias-integras:
Portanto a integral converte e seu valor é
. Essa conclusão também corresponde à razão de simetria (função ímpar): a área positiva em
cancela a área negativa em
.
Passo 5
Comentário adicional (útil para provas): muitas vezes é interessante verificar se a convergência é absoluta. Calculo
Faço a substituição
, então
e para
tem-se
Logo
Isso prova que a integral original converge absolutamente (o que é ainda mais forte que convergência simples). Convergência absoluta justifica também usar a propriedade de integral da primitiva sem problemas de ordenação.
Resposta
Converge absolutamente;