Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx
é convergente e, se for, calcular o seu valor.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
  • O domínio de integração é toda a reta real, de -\infty a \infty.
  • O denominador x^{2}+1 nunca zera para x\in\mathbb{R} (as raízes são imaginárias), então não há singularidades finitas na reta real — a impropriedade vem apenas dos limites infinities.
  • Nota útil (apenas informação): f tem paridade (isto é, comportamento sob x\mapsto -x) que pode ser observada.

Passo 2

O que significa rigorosamente "integral imprópria sobre (-\infty,\infty)"? A definição padrão é: escolher um ponto de corte c (por exemplo c=0) e exigir que os dois limites seguintes existam finitos:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx :=\lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{c} f(x)\,dx +\lim_{B\to \infty}\int_{c}^{B} f(x)\,dx,
ou seja, as integrais próprias nas meias-retas (-\infty,c] e [c,\infty) devem convergir separadamente.
Existe também o conceito de valor principal de Cauchy (principal value), definido por
\mathrm{PV}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx :=\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R} f(x)\,dx,
que exige simetria dos limites; esse limite pode existir mesmo quando a definição padrão acima falha. É importante distinguir os dois conceitos.

Passo 3

Vamos calcular uma primitiva de f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}. Uma maneira rápida é a substituição
u=x^{2}+1\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx.
Então
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\int \frac{1}{2}\cdot\frac{du}{u} =\frac{1}{2}\ln(u)+C =\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.
Portanto uma primitiva é F(x)=\dfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 4

Calculemos a integral na metade positiva:
\int_{0}^{B}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =F(B)-F(0) =\frac{1}{2}\ln\bigl(B^{2}+1\bigr)-\frac{1}{2}\ln(1) =\frac{1}{2}\ln\bigl(B^{2}+1\bigr).
Agora o limite quando B\to\infty:
\lim_{B\to\infty}\frac{1}{2}\ln\bigl(B^{2}+1\bigr)=\infty.
Logo a integral da metade positiva diverge (vai para +\infty).

Passo 5

Calculemos a integral na metade negativa, escolhendo um limite A<0 e depois A\to -\infty:
\int_{A}^{0}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =F(0)-F(A) =0-\frac{1}{2}\ln\bigl(A^{2}+1\bigr) =-\frac{1}{2}\ln\bigl(A^{2}+1\bigr).
Tomando A\to -\infty (note que A^{2}\to\infty) obtemos
\lim_{A\to -\infty}\bigl(-\tfrac{1}{2}\ln(A^{2}+1)\bigr)=-\infty.
Portanto a integral da metade negativa diverge (vai para -\infty).

Passo 6

Como as duas integrais separadas nas meias-retas divergem (uma para +\infty e a outra para -\infty), a integral imprópria no sentido padrão
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx
não converge: os dois limites na definição não existem finitos, logo a integral imprópria diverge.

Passo 7

Agora calculemos o valor principal de Cauchy, por curiosidade (às vezes pedido em física ou transformadas integrais). Para todo R>0,
\int_{-R}^{R}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx
a função f é ímpar porque
f(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}+1}=-\frac{x}{x^{2}+1}=-f(x).
A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-R,R] é zero, então para todo R
\int_{-R}^{R}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=0.
Tomando R\to\infty segue que o valor principal existe e vale
\mathrm{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=0.

Passo 8

Resumo final e interpretação prática: a integral imprópria definida pela soma das duas integrais em meias-retas diverge; porém o valor principal de Cauchy (limite simétrico) existe e é zero. Isso ocorre porque as contribuições das caudas positiva e negativa se cancelam perfeitamente quando tomadas de forma simétrica, mas individualmente cada uma é infinita.

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx diverge (não converge como integral imprópria).
\displaystyle \mathrm{PV}\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=0

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