Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular o seu valor.
Informações dadas e observações imediatas:
- A função integranda é
. - O domínio de integração é toda a reta real, de
a . - O denominador
nunca zera para (as raízes são imaginárias), então não há singularidades finitas na reta real — a impropriedade vem apenas dos limites infinities. - Nota útil (apenas informação):
tem paridade (isto é, comportamento sob ) que pode ser observada.
Passo 2
O que significa rigorosamente "integral imprópria sobre
"? A definição padrão é: escolher um ponto de corte
(por exemplo
) e exigir que os dois limites seguintes existam finitos:
ou seja, as integrais próprias nas meias-retas
e
devem convergir separadamente.
Existe também o conceito de valor principal de Cauchy (principal value), definido por
Existe também o conceito de valor principal de Cauchy (principal value), definido por
que exige simetria dos limites; esse limite pode existir mesmo quando a definição padrão acima falha. É importante distinguir os dois conceitos.
Passo 3
Vamos calcular uma primitiva de
. Uma maneira rápida é a substituição
Então
Portanto uma primitiva é
.
Passo 4
Calculemos a integral na metade positiva:
Agora o limite quando
:
Logo a integral da metade positiva diverge (vai para
).
Passo 5
Calculemos a integral na metade negativa, escolhendo um limite
e depois
:
Tomando
(note que
) obtemos
Portanto a integral da metade negativa diverge (vai para
).
Passo 6
Como as duas integrais separadas nas meias-retas divergem (uma para
e a outra para
), a integral imprópria no sentido padrão
não converge: os dois limites na definição não existem finitos, logo a integral imprópria diverge.
Passo 7
Agora calculemos o valor principal de Cauchy, por curiosidade (às vezes pedido em física ou transformadas integrais). Para todo
,
a função
é ímpar porque
A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero, então para todo
Tomando
segue que o valor principal existe e vale
Passo 8
Resumo final e interpretação prática: a integral imprópria definida pela soma das duas integrais em meias-retas diverge; porém o valor principal de Cauchy (limite simétrico) existe e é zero. Isso ocorre porque as contribuições das caudas positiva e negativa se cancelam perfeitamente quando tomadas de forma simétrica, mas individualmente cada uma é infinita.