Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-\infty}^{\infty} \cos (2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \cos(2t)\,dt
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Informação dada e utilíssima: a função integrando é t\mapsto\cos(2t), que é contínua, limitada e periódica (período \pi). A tarefa é decidir convergência (no sentido de integral imprópria de Riemann) e calcular o valor quando possível.

Passo 2

Vou lembrar a definição precisa de integral imprópria sobre toda a reta: para uma função f,
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt
é definida como a soma das duas integrais impróprias
\int_{-\infty}^{0} f(t)\,dt + \int_{0}^{\infty} f(t)\,dt,
onde cada uma das parcelas é um limite de integrais em intervalos finitos:
\int_{0}^{\infty} f(t)\,dt := \lim_{B\to\infty} \int_{0}^{B} f(t)\,dt, \qquad \int_{-\infty}^{0} f(t)\,dt := \lim_{A\to\infty} \int_{-A}^{0} f(t)\,dt.
Para que \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt exista (seja convergente), é necessário que ambos os limites acima existam e sejam finitos. (Obs.: essa é a definição usual de integral imprópria em dois lados; a existência do valor principal de Cauchy é uma outra noção que vou comentar depois.)

Passo 3

Calcule a primitiva (antiderivada) de \cos(2t). Sabendo que a derivada de \sin(2t) é 2\cos(2t), temos
\int \cos(2t)\,dt = \frac{1}{2}\sin(2t) + C.

Passo 4

Avalio agora as integrais em intervalos finitos e faço os limites.
Primeiro, para B>0,
\int_{0}^{B} \cos(2t)\,dt = \left.\frac{1}{2}\sin(2t)\right|_{0}^{B} = \frac{1}{2}\sin(2B) - \frac{1}{2}\sin(0) = \frac{1}{2}\sin(2B).
Segundo, para A>0,
\int_{-A}^{0} \cos(2t)\,dt = \left.\frac{1}{2}\sin(2t)\right|_{-A}^{0} = \frac{1}{2}\sin(0) - \frac{1}{2}\sin(-2A) = \frac{1}{2}\sin(2A),
pois \sin(-2A)=-\sin(2A).

Passo 5

Verifico os limites quando A,B\to\infty. As expressões obtidas são \dfrac{1}{2}\sin(2B) e \dfrac{1}{2}\sin(2A). Como a função \sin oscila entre -1 e 1 e não tem limite quando seu argumento tende a +\infty, os limites
\lim_{B\to\infty}\frac{1}{2}\sin(2B),\qquad \lim_{A\to\infty}\frac{1}{2}\sin(2A)
não existem. Portanto as duas integrais impróprias separadas não convergem; logo a integral sobre toda a reta também não converge.

Passo 6

Para reforçar a intuição: se tentarmos a aproximação simétrica (valor principal de Cauchy),
\int_{-A}^{A} \cos(2t)\,dt = \sin(2A),
e \sin(2A) também não tem limite quando A\to\infty. Assim até o valor principal de Cauchy
\operatorname{p.v.}\!\int_{-\infty}^{\infty}\cos(2t)\,dt = \lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\cos(2t)\,dt
não existe.

Passo 7

Comento também sobre convergência absoluta: para ver que a integral não é absolutamente convergente, note que a função |\cos(2t)| tem integral positiva por período. Um cálculo rápido do valor em um período mostra isso: faça u=2t, então
\int_{0}^{\pi} |\cos(2t)|\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} |\cos u|\,du = \frac{1}{2}\cdot 4 = 2,
ou seja, sobre cada intervalo de comprimento \pi a integral de |\cos(2t)| é 2. Somando essas contribuições ao longo de [0,N\pi] obtém-se 2N, que tende a +\infty quando N\to\infty. Logo \int_{-\infty}^{\infty} |\cos(2t)|\,dt diverge, isto é, não há convergência absoluta.

Passo 8

Conclusão clara e direta: a integral imprópria \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos(2t)\,dt não converge no sentido usual de integrais impróprias (Riemann). Tampouco converge absolutamente, e nem mesmo o valor principal de Cauchy existe.

Resposta

A integral diverge: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos(2t)\,dt não é convergente (não existe valor finito).

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