Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. \int_{-\infty}^{\infty} \cos (2 t) d t
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \cos(2t)\,dt
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Informação dada e utilíssima: a função integrando é t\mapsto\cos(2t), que é contínua, limitada e periódica (período \pi). A tarefa é decidir convergência (no sentido de integral imprópria de Riemann) e calcular o valor quando possível.
Passo 2
Vou lembrar a definição precisa de integral imprópria sobre toda a reta: para uma função f,
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt
é definida como a soma das duas integrais impróprias
Para que \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt exista (seja convergente), é necessário que ambos os limites acima existam e sejam finitos. (Obs.: essa é a definição usual de integral imprópria em dois lados; a existência do valor principal de Cauchy é uma outra noção que vou comentar depois.)
Passo 3
Calcule a primitiva (antiderivada) de \cos(2t). Sabendo que a derivada de \sin(2t) é 2\cos(2t), temos
\int \cos(2t)\,dt = \frac{1}{2}\sin(2t) + C.
Passo 4
Avalio agora as integrais em intervalos finitos e faço os limites.
Verifico os limites quando A,B\to\infty. As expressões obtidas são \dfrac{1}{2}\sin(2B) e \dfrac{1}{2}\sin(2A). Como a função \sin oscila entre -1 e 1 e não tem limite quando seu argumento tende a +\infty, os limites
Comento também sobre convergência absoluta: para ver que a integral não é absolutamente convergente, note que a função |\cos(2t)| tem integral positiva por período. Um cálculo rápido do valor em um período mostra isso: faça u=2t, então
ou seja, sobre cada intervalo de comprimento \pi a integral de |\cos(2t)| é 2. Somando essas contribuições ao longo de [0,N\pi] obtém-se 2N, que tende a +\infty quando N\to\infty. Logo \int_{-\infty}^{\infty} |\cos(2t)|\,dt diverge, isto é, não há convergência absoluta.
Passo 8
Conclusão clara e direta: a integral imprópria \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos(2t)\,dt não converge no sentido usual de integrais impróprias (Riemann). Tampouco converge absolutamente, e nem mesmo o valor principal de Cauchy existe.
Resposta
A integral diverge: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos(2t)\,dt não é convergente (não existe valor finito).