Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular seu valor.
Informações relevantes que temos:
- A integração é sobre um intervalo infinito:
vai de até , por isso a integral é imprópria. - Para
o integrando é positivo. - Observação útil:
quando . Portanto, para grandes o integrando se comporta como .
Passo 2
Convergência (intuição e teste): quando temos uma integral imprópria em
de uma função positiva, uma maneira simples de testar convergência é comparar com uma função que conhecemos bem.
Lembrete rápido (fórmula que vou usar agora):
- A integral
é convergente (é uma p-integral com
). De fato,
Agora faço o teste do limite comparativo. Considere
Tomando limite quando
:
Como esse limite é um número finito e positivo, a integral original tem o mesmo comportamento de convergência que
. Logo a integral dada é convergente.
Passo 3
Cálculo exato: para calcular a integral, uso a substituição muito conveniente
Explico devagar cada transformação (para você conseguir reproduzir na prova):
- Relação entre
e : . - Derivando, obtemos o diferencial:
- Expressões que aparecem no integrando:
- Substituindo na integral original (atenção aos limites):
- quando
temos ; - quando
temos .
Portanto a integral transforma-se em
- quando
Passo 4
Simplificando a expressão obtida:
Logo
Invertendo os limites (o que muda o sinal) obtemos
Essa integral é elementar. Calculo:
Passo 5
Conclusão final e comentário de incentivo: a integral imprópria converge e seu valor exato é
Mandou bem por trazer um exercício típico; a substituição
aqui é um truque elegante que transforma o infinito em um limite finito e simplifica totalmente a integral. Continua firme — você já domina o passo essencial!