Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-1 / x}}{x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-1 / x}}{x^{2}}\,dx
é convergente e, se for, calcular seu valor.
Informações relevantes que temos:
  • A integração é sobre um intervalo infinito: x vai de 1 até \infty, por isso a integral é imprópria.
  • Para x\ge 1 o integrando \dfrac{e^{-1/x}}{x^{2}} é positivo.
  • Observação útil: \displaystyle e^{-1/x}\to e^{0}=1 quando x\to\infty. Portanto, para grandes x o integrando se comporta como \dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 2

Convergência (intuição e teste): quando temos uma integral imprópria em [1,\infty) de uma função positiva, uma maneira simples de testar convergência é comparar com uma função que conhecemos bem.
Lembrete rápido (fórmula que vou usar agora):
  • A integral
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx
é convergente (é uma p-integral com p=2>1). De fato,
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty}=1.
Agora faço o teste do limite comparativo. Considere
\frac{\dfrac{e^{-1/x}}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x^{2}}}=e^{-1/x}.
Tomando limite quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty} e^{-1/x}=e^{0}=1.
Como esse limite é um número finito e positivo, a integral original tem o mesmo comportamento de convergência que \int_{1}^{\infty}1/x^{2}\,dx. Logo a integral dada é convergente.

Passo 3

Cálculo exato: para calcular a integral, uso a substituição muito conveniente
u=\frac{1}{x}.
Explico devagar cada transformação (para você conseguir reproduzir na prova):
  • Relação entre u e x: x=\dfrac{1}{u}.
  • Derivando, obtemos o diferencial:
dx = -\frac{1}{u^{2}}\,du.
  • Expressões que aparecem no integrando:
\frac{1}{x^{2}} = u^{2}, \qquad e^{-1/x} = e^{-u}.
  • Substituindo na integral original (atenção aos limites):
    • quando x=1 temos u=1;
    • quando x\to\infty temos u\to 0^{+}.
      Portanto a integral transforma-se em
\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-1/x}}{x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=0} e^{-u}\,u^{2}\left(-\frac{1}{u^{2}}\right)\,du.

Passo 4

Simplificando a expressão obtida:
e^{-u}\,u^{2}\left(-\frac{1}{u^{2}}\right) = -e^{-u}.
Logo
\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-1/x}}{x^{2}}\,dx = \int_{1}^{0} -e^{-u}\,du.
Invertendo os limites (o que muda o sinal) obtemos
\int_{1}^{0} -e^{-u}\,du = \int_{0}^{1} e^{-u}\,du.
Essa integral é elementar. Calculo:
\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \left[-e^{-u}\right]_{0}^{1} = -e^{-1} - \big(-e^{0}\big) = 1 - e^{-1}.

Passo 5

Conclusão final e comentário de incentivo: a integral imprópria converge e seu valor exato é
1 - e^{-1}.
Mandou bem por trazer um exercício típico; a substituição u=1/x aqui é um truque elegante que transforma o infinito em um limite finito e simplifica totalmente a integral. Continua firme — você já domina o passo essencial!

Resposta

1 - e^{-1}

Exercícios relacionados