Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{3}^{\infty} \frac{1}{(x-2)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{3}^{\infty} \frac{1}{(x-2)^{3/2}}\,dx
é convergente e, se for, calcular seu valor.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{1}{(x-2)^{3/2}}.
  • O intervalo de integração é [3,\infty).
  • Observação importante: a expressão (x-2)^{3/2} fica nula em x=2, mas x=2 está fora do intervalo de integração (o intervalo começa em x=3). Portanto não há singularidade dentro de [3,\infty); a impropriedade vem apenas do limite superior infinito.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria por infinito: para integrar em um intervalo que vai até infinito, usa-se a definição por limite
\int_{3}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{3}^{b} f(x)\,dx.
A integral converge se esse limite existir e for finito; diverge caso contrário.

Passo 3

Estratégia para calcular: encontrar uma primitiva (antiderivada) de f(x)= (x-2)^{-3/2} e depois aplicar a definição por limite. Uma substituição simples torna a conta direta: seja
u = x-2 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Quando x=3 temos u=1. Quando x=b temos u=b-2. Assim
\int_{3}^{b} \frac{1}{(x-2)^{3/2}}\,dx = \int_{1}^{\,b-2} u^{-3/2}\,du.

Passo 4

Calcular a primitiva de u^{-3/2}. Para potências u^{p} com p\neq -1, a primitiva é \dfrac{u^{p+1}}{p+1}. Aqui p=-\tfrac{3}{2}, então p+1=-\tfrac{1}{2}. Logo
\int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C = -2\,u^{-1/2} + C = -\frac{2}{\sqrt{u}} + C.
Aplicando isso aos limites 1 e b-2,
\int_{1}^{\,b-2} u^{-3/2}\,du = \left[-\frac{2}{\sqrt{u}}\right]_{1}^{\,b-2} = -\frac{2}{\sqrt{b-2}} -\left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{b-2}} + 2.

Passo 5

Agora aplicamos a definição por limite:
\int_{3}^{\infty} \frac{1}{(x-2)^{3/2}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left(-\frac{2}{\sqrt{b-2}} + 2\right).
Como \displaystyle\lim_{b\to\infty}\frac{1}{\sqrt{b-2}}=0, o limite vale
0 + 2 = 2.
Portanto a integral converge e seu valor é 2.

Passo 6

Um comentário didático extra (útil para prova): para checar convergência sem calcular explicitamente, pode-se usar o teste p-integral. Para grandes x,
\frac{1}{(x-2)^{3/2}}\sim\frac{1}{x^{3/2}},
e a integral \displaystyle\int_{3}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx converge exatamente quando p>1. Aqui p=\tfrac{3}{2}>1, então a integral deve convergir — concordando com o cálculo exato acima. Isso é útil quando quiser apenas saber convergência rapidamente.

Resposta

2

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