Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular seu valor.
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - Observação importante: a expressão
fica nula em , mas está fora do intervalo de integração (o intervalo começa em ). Portanto não há singularidade dentro de ; a impropriedade vem apenas do limite superior infinito.
Passo 2
Definição prática de integral imprópria por infinito: para integrar em um intervalo que vai até infinito, usa-se a definição por limite
A integral converge se esse limite existir e for finito; diverge caso contrário.
Passo 3
Estratégia para calcular: encontrar uma primitiva (antiderivada) de
e depois aplicar a definição por limite. Uma substituição simples torna a conta direta: seja
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Passo 4
Calcular a primitiva de
. Para potências
com
, a primitiva é
. Aqui
, então
. Logo
Aplicando isso aos limites
e
,
Passo 5
Agora aplicamos a definição por limite:
Como
, o limite vale
Portanto a integral converge e seu valor é
.
Passo 6
Um comentário didático extra (útil para prova): para checar convergência sem calcular explicitamente, pode-se usar o teste
-integral. Para grandes
,
e a integral
converge exatamente quando
. Aqui
, então a integral deve convergir — concordando com o cálculo exato acima. Isso é útil quando quiser apenas saber convergência rapidamente.