Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-\infty}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\,dx
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Informações importantes dadas:
  • O integrando é \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{3}}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,0], ou seja, a integral é imprópria por causa do limite inferior -\infty.
  • O integrando é contínuo em qualquer intervalo do tipo [a,0] com a<0, portanto a impropriedade vem apenas do limite infinito.

Passo 2

Definição prática (como vamos tratar a impropriedade): interpretar a integral imprópria como limite
\int_{-\infty}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\,dx.
Se esse limite existir finito, a integral é convergente; caso contrário, é divergente. Antes de calcular o limite, vamos achar uma primitiva (antiderivada) explícita do integrando para poder avaliar a integral definida \int_{a}^{0}.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{3}}. Uma substituição natural é u=x^{2}+1, porque a derivada de x^{2}+1 envolve x\,dx.
Fazendo u=x^{2}+1 temos du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}. Substituindo,
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \int \frac{1}{u^{3}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{-3}\,du.
Integrando u^{-3} (regra de potência: \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1), obtemos
\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4}u^{-2}+C.
Voltando a x ( u=x^{2}+1), uma primitiva é
F(x) = -\frac{1}{4}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} + C.
Verificação rápida (opcional, mas didática): calcular F'(x).
F'(x) = -\frac{1}{4}\cdot(-2)(x^{2}+1)^{-3}\cdot 2x = x(x^{2}+1)^{-3},
correspondendo exatamente ao integrando. Assim a primitiva está correta.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida como limite usando a primitiva F:
\int_{-\infty}^{0} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\Bigl[F(0)-F(a)\Bigr].
Calcule F(0) e o limite de F(a) quando a\to -\infty:
F(0) = -\frac{1}{4}\frac{1}{(0^{2}+1)^{2}} = -\frac{1}{4}.
Para a\to -\infty temos (a^{2}+1)^{2}\to\infty, logo
\lim_{a\to -\infty} F(a) = \lim_{a\to -\infty}\left(-\frac{1}{4}\frac{1}{(a^{2}+1)^{2}}\right)=0.
Portanto o limite existe e é finito:
\int_{-\infty}^{0} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = -\frac{1}{4}-0 = -\frac{1}{4}.

Passo 5

Interpretação e checagem intuitiva: o integrando é negativo em (-\infty,0) (pois x<0 e o denominador é positivo), então esperar um valor negativo faz sentido. Também é útil notar que para x\to\pm\infty o integrando tem decaimento da ordem de 1/x^{5} (pois \dfrac{x}{(x^{2})^{3}}=\dfrac{1}{x^{5}} aproximadamente), o que garante convergência das integrais improprias no infinito (padrão p-teste com p=5>1).

Resposta

Converge; -\dfrac{1}{4}

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