Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Informações importantes dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, a integral é imprópria por causa do limite inferior . - O integrando é contínuo em qualquer intervalo do tipo
com , portanto a impropriedade vem apenas do limite infinito.
Passo 2
Definição prática (como vamos tratar a impropriedade): interpretar a integral imprópria como limite
Se esse limite existir finito, a integral é convergente; caso contrário, é divergente. Antes de calcular o limite, vamos achar uma primitiva (antiderivada) explícita do integrando para poder avaliar a integral definida
.
Passo 3
Encontrar uma primitiva de
. Uma substituição natural é
, porque a derivada de
envolve
.
Fazendo
temos
, ou seja
. Substituindo,
Integrando
(regra de potência:
para
), obtemos
Voltando a
(
), uma primitiva é
Verificação rápida (opcional, mas didática): calcular
.
correspondendo exatamente ao integrando. Assim a primitiva está correta.
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida como limite usando a primitiva
:
Calcule
e o limite de
quando
:
Para
temos
, logo
Portanto o limite existe e é finito:
Passo 5
Interpretação e checagem intuitiva: o integrando é negativo em
(pois
e o denominador é positivo), então esperar um valor negativo faz sentido. Também é útil notar que para
o integrando tem decaimento da ordem de
(pois
aproximadamente), o que garante convergência das integrais improprias no infinito (padrão
-teste com
).
Resposta
Converge;