Verifique qual das integrais impróprias (de 1^{a} e/ou de 2^{a} espécie) é convergente. Justifique se não for convergente e calcule a integral se for convergente.
Calcule as integrais impróprias:
\int_{0}^{2^{-}} \frac{1}{x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral
\int_{0}^{2^-}\frac{1}{x-2}\,dx
e, se convergente, calculá-la; caso contrário, justificar a divergência. Note que em x=2 o integrando \tfrac1{x-2} torna-se não limitado, caracterizando uma integral imprópria de 2ª espécie.

Passo 2

Expressamos a integral como limite
\int_{0}^{2^-}\frac{1}{x-2}\,dx =\lim_{b\to2^-}\int_{0}^{b}\frac{1}{x-2}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de \tfrac1{x-2}:
\int\frac{1}{x-2}\,dx =\ln\bigl|x-2\bigr|+C.

Passo 4

Aplicamos os limites de integração de 0 a b<2:
\int_{0}^{b}\frac{1}{x-2}\,dx =\Bigl[\ln\lvert x-2\rvert\Bigr]_{0}^{b} =\ln\lvert b-2\rvert-\ln\lvert -2\rvert =\ln(2-b)-\ln2 =\ln\!\Bigl(\frac{2-b}{2}\Bigr).

Passo 5

Analisamos o limite quando b\to2^-:
\lim_{b\to2^-}\ln\!\Bigl(\frac{2-b}{2}\Bigr) =\ln\bigl(0^+\bigr) =-\infty.
Como o limite diverge para -\infty, a integral não converge.

Resposta

A integral é imprópria de 2ª espécie e diverge (não é convergente).

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