Verifique qual das integrais impróprias (de 1^{a} e/ou de 2^{a} espécie) é convergente. Justifique se não for convergente e calcule a integral se for convergente.
Calcule as integrais impróprias:
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e, se convergente, calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx.
Trata-se de uma integral imprópria de 2ª espécie (limite superior infinito). Vamos usar o critério das integrais do tipo \int_{a}^{\infty}x^{-p}\,dx, que converge se e somente se p>1.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite:
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_{2}^{R}x^{-3}\,dx.
Dessa forma, basta calcular a integral de 2 a R e depois estudar o limite quando R\to\infty.

Passo 3

Encontramos uma primitiva de x^{-3}. Sabemos que
\int x^{-3}\,dx =\int x^{-3}\,dx =x^{-2}\,\frac{1}{-2} =-\frac{1}{2x^{2}}.
Logo,
\int_{2}^{R}x^{-3}\,dx =\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{2}^{R} =-\frac{1}{2R^{2}}-\Bigl(-\frac{1}{2\cdot2^{2}}\Bigr).

Passo 4

Avaliamo o limite quando R\to\infty:
\lim_{R\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{2R^{2}}+\frac{1}{8}\Bigr) =0+\frac{1}{8} =\frac{1}{8}.
Como o resultado é finito, a integral converge e vale \tfrac{1}{8}.

Resposta

A integral converge e
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx=\frac{1}{8}.

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