Verifique qual das integrais impróprias (de
e/ou de
espécie) é convergente. Justifique se não for convergente e calcule a integral se for convergente.
Calcule as integrais impróprias:
Calcule as integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral
que é imprópria porque a função
fica não limitada em
. Vamos identificar o tipo de impropriedade e, se convergir, calcular seu valor.
Passo 2
A singularidade em
ocorre no interior do intervalo de integração. Logo, trata-se de uma integral imprópria de segunda espécie. Para estudar a convergência, dividimos a integral em duas partes em torno de
:
Passo 3
Usamos o teste-p para ambas as integrais perto de zero. Como
com
, temos
convergentes, pois em geral
converge se e somente se
.
Passo 4
Agora, achamos a antiderivada de
. Seja
Como
, segue que
Passo 5
Calculamos cada parte como limite:
Para a parte de
a
:
Para a parte de
a
:
Como
e
quando
, obtemos
Passo 6
Somando as duas partes,
Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é
.
Resposta
A integral é imprópria de segunda espécie, converge e vale
.