Verifique qual das integrais impróprias (de 1^{a} e/ou de 2^{a} espécie) é convergente. Justifique se não for convergente e calcule a integral se for convergente.
Calcule as integrais impróprias:
\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{1 / 3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral
\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{1/3}}\,dx
que é imprópria porque a função x^{-1/3} fica não limitada em x=0. Vamos identificar o tipo de impropriedade e, se convergir, calcular seu valor.

Passo 2

A singularidade em x=0 ocorre no interior do intervalo de integração. Logo, trata-se de uma integral imprópria de segunda espécie. Para estudar a convergência, dividimos a integral em duas partes em torno de 0:
\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{1/3}}\,dx = \int_{-1}^{0} x^{-1/3}\,dx + \int_{0}^{1} x^{-1/3}\,dx.

Passo 3

Usamos o teste-p para ambas as integrais perto de zero. Como x^{-1/3}=x^{-\alpha} com \alpha=\tfrac13<1, temos
\int_{0}^{\varepsilon} x^{-1/3}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{-\varepsilon}^{0} x^{-1/3}\,dx
convergentes, pois em geral \int_{0}^{\varepsilon}x^{-\alpha}dx converge se e somente se \alpha<1.

Passo 4

Agora, achamos a antiderivada de x^{-1/3}. Seja
F(x)=\int x^{-1/3}\,dx.
Como \frac{d}{dx}x^{2/3}=\tfrac{2}{3}x^{-1/3}, segue que
F(x)=\frac{3}{2}\,x^{2/3}.

Passo 5

Calculamos cada parte como limite:
Para a parte de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{-1/3}\,dx = \lim_{b\to0^+}\Bigl[F(x)\Bigr]_{b}^{1} = \lim_{b\to0^+}\Bigl(\tfrac{3}{2}\,1^{2/3}-\tfrac{3}{2}\,b^{2/3}\Bigr) = \tfrac{3}{2}.
Para a parte de -1 a 0:
\int_{-1}^{0} x^{-1/3}\,dx = \lim_{a\to0^-}\Bigl[F(x)\Bigr]_{-1}^{a} = \lim_{a\to0^-}\Bigl(\tfrac{3}{2}\,a^{2/3}-\tfrac{3}{2}\,(-1)^{2/3}\Bigr).
Como (-1)^{2/3}=1 e a^{2/3}\to0 quando a\to0, obtemos
\int_{-1}^{0} x^{-1/3}\,dx = 0-\tfrac{3}{2} = -\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Somando as duas partes,
\int_{-1}^{1} x^{-1/3}\,dx = \Bigl(-\tfrac{3}{2}\Bigr) + \Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr) = 0.
Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é 0.

Resposta

A integral é imprópria de segunda espécie, converge e vale 0.

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