Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações e observações iniciais importantes que o enunciado dá:
- A integral é sobre o intervalo
, logo há duas fontes possíveis de impropriedade: o ponto (extremo esquerdo) e o infinito . - A função integranda é
- Pergunta única: determinar se a integral imprópria converge ou diverge.
Passo 2
Estratégia de resolução (apenas descrevendo a ideia — a conta vem nos passos seguintes):
- Investigar o comportamento de
quando . Usar comparação assintótica com uma função do tipo e o teste-p (isto é, saber quando converge). - Investigar o comportamento de
quando . Verificar se há singularidade ou se a função é limitada perto de . - Concluir: se
for integrável em um segmento e também em , então é integrável em .
Passo 3
Lema útil (teste-p) — breve explicação didática:
- A integral
converge se, e somente se,
. Intuição: para
a cauda decai rápido o suficiente; para
decai lento demais e a área infinita diverge.
- Usaremos o teste de comparação por limites (limit comparison test): se
e com , então e convergem ou divergem conjuntamente.
Passo 4
Analisar o comportamento de
quando
. Vamos achar uma função-padrão do tipo
com a qual comparar. Manipulação algébrica (tudo em notação matemática):
Multiplico e divido por potências de
para destacar o comportamento dominante. Para
podemos escrever
e
Substituindo,
Calcule a exponência:
Logo
Passo 5
Fazer a comparação por limite com
. Calcule o limite:
Como
,
e
quando
, usando continuidade das funções raiz e raiz cúbica obtemos
O limite é finito e positivo (
), portanto pelo teste de comparação por limites
tem o mesmo comportamento de integrabilidade que
em
.
Passo 6
Aplicar o teste-p: como
corresponde a
, a integral
converge. Pelo resultado do passo anterior, a integral
também converge.
Passo 7
Analisar a região perto de
(integral em
). Avaliar o limite da função em
:
porque peguei os valores substituindo
nas partes contínuas (ou seja, usei que
e
são os termos dominantes em cada radicando quando
). Esse é um número finito e positivo, portanto
é limitada (e contínua) num intervalo compacto
. Conclusão prática:
é integrável em
(qualquer função contínua num intervalo fechado é integrável).
Passo 8
Juntando as duas partes:
-
é integrável em ; -
é integrável em .
Logoé integrável em , ou seja, a integral imprópria converge.
Passo 9
Comentário final motivador: a razão chave foi identificar o comportamento assintótico para
(aqui deu
) e usar o teste-p; perto de
a função é simplesmente limitada por uma constante. Esses são os dois tipos de análise que aparecem quase sempre em provas para integrais impróprias — pratica essa receita e fica bem mais tranquilo!
Resposta
A integral é convergente.