Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+2012}}{\sqrt[3]{x^{7}+3 x^{3}+2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+2012}}{\sqrt[3]{x^{7}+3 x^{3}+2}}\,dx
é convergente ou divergente. Informações e observações iniciais importantes que o enunciado dá:
  • A integral é sobre o intervalo [0,\infty), logo há duas fontes possíveis de impropriedade: o ponto x=0 (extremo esquerdo) e o infinito x\to\infty.
  • A função integranda é
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+2012}}{\sqrt[3]{x^{7}+3 x^{3}+2}}.
  • Pergunta única: determinar se a integral imprópria converge ou diverge.

Passo 2

Estratégia de resolução (apenas descrevendo a ideia — a conta vem nos passos seguintes):
  • Investigar o comportamento de f(x) quando x\to\infty. Usar comparação assintótica com uma função do tipo x^{-p} e o teste-p (isto é, saber quando \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converge).
  • Investigar o comportamento de f(x) quando x\to0^+. Verificar se há singularidade ou se a função é limitada perto de 0.
  • Concluir: se f for integrável em um segmento [0,1] e também em [1,\infty), então é integrável em [0,\infty).

Passo 3

Lema útil (teste-p) — breve explicação didática:
  • A integral
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Intuição: para p>1 a cauda decai rápido o suficiente; para p\le 1 decai lento demais e a área infinita diverge.
  • Usaremos o teste de comparação por limites (limit comparison test): se g(x)>0 e \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L com 0<L<\infty, então \int_{1}^{\infty}f e \int_{1}^{\infty}g convergem ou divergem conjuntamente.

Passo 4

Analisar o comportamento de f(x) quando x\to\infty. Vamos achar uma função-padrão do tipo x^{-p} com a qual comparar. Manipulação algébrica (tudo em notação matemática):
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+2012}}{\sqrt[3]{x^{7}+3x^{3}+2}}.
Multiplico e divido por potências de x para destacar o comportamento dominante. Para x>0 podemos escrever
\sqrt{x^{2}+2012}=x\sqrt{1+\frac{2012}{x^{2}}}
e
\sqrt[3]{x^{7}+3x^{3}+2}=x^{7/3}\sqrt[3]{1+\frac{3}{x^{4}}+\frac{2}{x^{7}}}.
Substituindo,
f(x)=\frac{x\sqrt{1+\tfrac{2012}{x^{2}}}}{x^{7/3}\sqrt[3]{1+\tfrac{3}{x^{4}}+\tfrac{2}{x^{7}}}} = x^{1-7/3}\cdot\frac{\sqrt{1+\tfrac{2012}{x^{2}}}}{\sqrt[3]{1+\tfrac{3}{x^{4}}+\tfrac{2}{x^{7}}}}.
Calcule a exponência:
1-\frac{7}{3}=-\frac{4}{3}.
Logo
f(x)=x^{-4/3}\cdot\frac{\sqrt{1+\tfrac{2012}{x^{2}}}}{\sqrt[3]{1+\tfrac{3}{x^{4}}+\tfrac{2}{x^{7}}}}.

Passo 5

Fazer a comparação por limite com g(x)=x^{-4/3}. Calcule o limite:
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^{-4/3}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\tfrac{2012}{x^{2}}}}{\sqrt[3]{1+\tfrac{3}{x^{4}}+\tfrac{2}{x^{7}}}}.
Como \tfrac{2012}{x^{2}}\to0, \tfrac{3}{x^{4}}\to0 e \tfrac{2}{x^{7}}\to0 quando x\to\infty, usando continuidade das funções raiz e raiz cúbica obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^{-4/3}}=\frac{\sqrt{1+0}}{\sqrt[3]{1+0+0}}=1.
O limite é finito e positivo ( L=1), portanto pelo teste de comparação por limites f(x) tem o mesmo comportamento de integrabilidade que x^{-4/3} em [1,\infty).

Passo 6

Aplicar o teste-p: como x^{-4/3} corresponde a p=\tfrac{4}{3}>1, a integral
\int_{1}^{\infty} x^{-4/3}\,dx
converge. Pelo resultado do passo anterior, a integral
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
também converge.

Passo 7

Analisar a região perto de x=0 (integral em [0,1]). Avaliar o limite da função em 0^+:
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x^{2}+2012}}{\sqrt[3]{x^{7}+3x^{3}+2}} =\frac{\sqrt{2012}}{\sqrt[3]{2}},
porque peguei os valores substituindo x=0 nas partes contínuas (ou seja, usei que 2012 e 2 são os termos dominantes em cada radicando quando x\to0). Esse é um número finito e positivo, portanto f é limitada (e contínua) num intervalo compacto [0,1]. Conclusão prática: f é integrável em [0,1] (qualquer função contínua num intervalo fechado é integrável).

Passo 8

Juntando as duas partes:
  • f é integrável em [0,1];
  • f é integrável em [1,\infty).
    Logo f é integrável em [0,\infty), ou seja, a integral imprópria converge.

Passo 9

Comentário final motivador: a razão chave foi identificar o comportamento assintótico para x\to\infty (aqui deu f(x)\sim x^{-4/3}) e usar o teste-p; perto de 0 a função é simplesmente limitada por uma constante. Esses são os dois tipos de análise que aparecem quase sempre em provas para integrais impróprias — pratica essa receita e fica bem mais tranquilo!

Resposta

A integral é convergente.

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