Verifique se u, v, w é L.I. ou L.D.:
u=(1,2,1), v=(1,-1,-7), w=(4,5,-4),

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto u,v,wsubsetR^3, com
u=(1,2,1), v=(1,-1,-7) e w=(4,5,-4), é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
Conteúdo: dependência linear em R^3. Podemos usar o determinante da matriz cujas colunas são u,v,w ou resolver o sistema alphau+betav+gammaw=0.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas colunas são u,v,w e calculamos o seu determinante. Se
det(A)neq 0,
os vetores são L.I.; se det(A)=0, são L.D.
A= 1 & 1 & 4 2 & -1 & 5 1 & -7 & -4

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!-1 & 5-7 & -4 -1cdotdet!2 & 51 & -4 +4cdotdet!2 & -11 & -7

Passo 4

Agora cada subdeterminante:
det!-1 & 5-7 & -4 =(-1)(-4)-5(-7)=4+35=39,
det!2 & 51 & -4 =2(-4)-5cdot1=-8-5=-13,
det!2 & -11 & -7 =2(-7)-(-1)cdot1=-14+1=-13
Logo
det(A)=1cdot39 -1cdot(-13) +4cdot(-13) =39 +13 -52 =0
Como det(A)=0, concluímos que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 5

Para encontrar a relação de dependência, resolvemos
alphau+betav+gammaw=0
Isso gera o sistema
alpha+beta+4gamma=0, 2alpha-beta+5gamma=0, alpha-7beta-4gamma=0
Da primeira equação alpha=-beta-4gamma. Substituindo na segunda obtém-se beta=-gamma, e então alpha=-3gamma. Escolhendo gamma=1 vem
(alpha,beta,gamma)=(-3,-1,1),
ou seja
-3u-v+w=0 Longrightarrow w=3u+v

Resposta

O conjunto u,v,w é linearmente dependente e satisfaz
-3u-v+w=0

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