Ex. 5. Verifique que lim (x, y) longrightarrow(0,0) f(x, y) existe quando.
f(x, y)=x^3+2 x^2 y-y^2+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
existe, onde
O conteúdo é limite de função de duas variáveis em . Vamos usar a definição : provar que existe tal que, dado , escolhemos com

Passo 2

Observamos que f(x,y) é a soma de 2 com o polinômio
g(x,y)=x^3+2x^2y-y^2
Como polinômios são contínuos, esperávamos que
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0 Longrightarrow lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=2
Para formalizar, estimamos
|g(x,y)| ;=; |x^3| + 2|x|^2|y| + |y|^2

Passo 3

Se raizx^2+y^2<de<a, então |x|<de<a e |y|<de<a. Além disso, escolhemos de<a<=1, o que implica de<a^2<=de<a e de<a^3<=de<a^2. Assim,
|g(x,y)| ;<=;de<a^3 + 2de<a^3 + de<a^2 = 3de<a^3 + de<a^2 <= 3de<a^2 + de<a^2 =4de<a^2 <=4de<a
Agora, dado varepsilon>0, basta tomar
de<a = min1,tfracvarepsilon4
Então 0<raizx^2+y^2<de<a implica
|f(x,y)-2| =|g(x,y)|<=4de<a<=4cdotvarepsilon4=varepsilon,
o que mostra que o limite é 2.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=2

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