Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
. O objetivo é verificar se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de um certo valor à medida que
cresce, e, se sim, descobrir qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra, especialmente a divisão pelos termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 2
Vamos começar observando a estrutura da fração
. Quando
fica muito grande, os termos com
tendem a dominar os termos constantes. Isso significa que, para grandes valores de
, o 5 e o -7 têm pouca influência comparados a -2n e 3n.
Passo 3
Para encontrar o limite da sequência, dividimos tanto o numerador quanto o denominador pelo termo de maior grau, que é
nesse caso:
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende para o infinito. Os termos
e
vão se aproximar de zero, pois dividimos um número fixo por um número que cresce sem limites.
Passo 4
Substituindo esses limites na expressão, temos:
Portanto, a sequência converge para
.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.