Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=5-2 n3 n-7

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por an = 5 - 2n3n - 7 . O objetivo é verificar se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de um certo valor à medida que n cresce, e, se sim, descobrir qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra, especialmente a divisão pelos termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Vamos começar observando a estrutura da fração 5 - 2n3n - 7 . Quando n fica muito grande, os termos com n tendem a dominar os termos constantes. Isso significa que, para grandes valores de n , o 5 e o -7 têm pouca influência comparados a -2n e 3n.

Passo 3

Para encontrar o limite da sequência, dividimos tanto o numerador quanto o denominador pelo termo de maior grau, que é n nesse caso:
an = 5 - 2n3n - 7 = 5n - 23 - 7n
Agora, vamos analisar o que acontece quando n tende para o infinito. Os termos 5n e 7n vão se aproximar de zero, pois dividimos um número fixo por um número que cresce sem limites.

Passo 4

Substituindo esses limites na expressão, temos:
limn to infty an = 0 - 23 - 0 = -23
Portanto, a sequência converge para -23.

Resposta

A sequência an = 5 - 2n3n - 7 é convergente e seu limite é -23.

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