Verifique se os limites abaixo existem ou não:
Passo 1
Neste exercício, vamos verificar se o limite
existe ou não. Estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis, que é um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, precisaremos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
, verificando se o limite é o mesmo independentemente do caminho que tomamos para chegar a esse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa verificar o limite de uma função de duas variáveis à medida que
se aproxima de
. Diferentemente de funções de uma variável, aqui precisamos garantir que o limite seja o mesmo para todos os caminhos de aproximação.
Passo 3
Uma estratégia comum é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e verificar se os resultados são consistentes. Se encontrarmos dois caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite não existe.
Passo 4
Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função, temos:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite ao longo da linha
, onde
é uma constante. Substituindo
por
, obtemos:
Note que o resultado depende de
. Isso significa que diferentes caminhos (diferentes valores de
) levarão a diferentes valores para o limite.
Passo 6
Por exemplo, se escolhermos
, o limite se torna:
Enquanto que, como vimos no Passo 4, ao longo do eixo
(que corresponde a
), o limite é 0.
Passo 7
Como obtemos resultados diferentes ao calcular o limite por caminhos distintos (
e
), podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.