Verifique se os limites abaixo existem ou não:
lim (x, y) mapsto(0,0) y x^22 x^4+y^2

Passo 1

Neste exercício, vamos verificar se o limite
lim (x, y) mapsto(0,0) y x^22 x^4+y^2
existe ou não. Estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis, que é um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, precisaremos analisar o comportamento da função quando (x, y) se aproxima de (0,0), verificando se o limite é o mesmo independentemente do caminho que tomamos para chegar a esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa verificar o limite de uma função de duas variáveis à medida que (x, y) se aproxima de (0,0). Diferentemente de funções de uma variável, aqui precisamos garantir que o limite seja o mesmo para todos os caminhos de aproximação.

Passo 3

Uma estratégia comum é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e verificar se os resultados são consistentes. Se encontrarmos dois caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 4

Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y = 0 na função, temos:
0 cdot x^22 x^4 + 0 = 0
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite ao longo da linha y = k x^2, onde k é uma constante. Substituindo y por k x^2, obtemos:
k x^2 cdot x^22 x^4 + (k x^2)^2 = k x^42 x^4 + k^2 x^4 = k2 + k^2
Note que o resultado depende de k. Isso significa que diferentes caminhos (diferentes valores de k) levarão a diferentes valores para o limite.

Passo 6

Por exemplo, se escolhermos k = 1, o limite se torna:
12 + 1 = 13
Enquanto que, como vimos no Passo 4, ao longo do eixo x (que corresponde a k = 0), o limite é 0.

Passo 7

Como obtemos resultados diferentes ao calcular o limite por caminhos distintos ( 0 e 13), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite
lim (x, y) mapsto(0,0) y x^22 x^4+y^2
não existe.

Exercícios relacionados