Verifique quais matrizes são diagonalizáveis. Para as que são diagonalizáveis, encontre a matriz diagonal.
B=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar a matriz diagonal. Isso envolve calcular os autovalores (resolvendo o polinômio característico), depois os autovetores, e checar se há dois autovetores linearmente independentes (pois é uma matriz 2\times2).]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de B. Temos
\det(B - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 2 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} = \lambda^2 - 2 = 0.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = \sqrt{2} e \lambda_2 = -\sqrt{2}, que são distintos.]

Passo 3

Para cada autovalor calculamos um autovetor não-nulo:
  1. Se \lambda = \sqrt{2}, resolvemos
    (B - \sqrt{2}I)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-\sqrt{2} & 2 \\[4pt] 1 & -\sqrt{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
    Da primeira linha vem -\sqrt{2}\,x + 2y = 0, ou seja y = \tfrac{\sqrt2}{2}\,x. Escolhendo x=\sqrt2 obtém-se o autovetor
    v_1 = \begin{pmatrix}\sqrt2 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
  2. Se \lambda = -\sqrt{2}, fazemos
    (B + \sqrt{2}I)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}\sqrt{2} & 2 \\[4pt] 1 & \sqrt{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix},
    que leva a \sqrt{2}\,x + 2y=0, isto é y=-\tfrac{\sqrt2}{2}\,x. Escolhendo x=\sqrt2 vem o autovetor
    v_2 = \begin{pmatrix}\sqrt2 \\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como \lambda_1\neq\lambda_2, os autovetores v_1 e v_2 são linearmente independentes. Logo B é diagonalizável.

Passo 5

Basta escolher a matriz de mudança de base P = \bigl[v_1\;v_2\bigr] e verificar
P^{-1}BP = D,
onde a matriz diagonal D tem as entradas dos autovalores na diagonal principal.

Resposta

A matriz B é diagonalizável e a matriz diagonal semelhante a B é
D = \begin{pmatrix}\sqrt{2} & 0 \\[4pt] 0 & -\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados