Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado fornece a série
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente. Informação relevante que temos: os termos são positivos para todo
e, quando
é grande,
se comporta de forma parecida com
. Ainda não resolvemos nada — só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Conceito útil que vamos usar (explicação didática): a série harmônica
é um exemplo clássico de série divergente. Uma prova rápida e elementar disso usa agrupamento:
cada bloco entre parênteses tem soma maior ou igual a
, então somando infinitos blocos teremos soma infinita — ou seja, diverge. Esse fato é importante porque muitas séries que têm termos parecidos com
também divergem.
Passo 3
Apresentando o teste que vou usar (explicado passo a passo): o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test) diz o seguinte. Se
e
são termos positivos e existe o limite finito e não nulo
então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. A ideia por trás é que, para
grande,
é equivalente a
e multiplicar por uma constante positiva não muda convergência/divergência.
Passo 4
Aplicando o teste: defina
Calculemos o limite
. Primeiro escrevemos a razão:
Agora extraímos
de dentro da raiz para facilitar o limite:
Como
é positivo para
, temos
, então
Tomando o limite quando
:
Portanto o limite
existe e vale
, que é um número finito e positivo.
Passo 5
Conclusão pelo Teste da Comparação por Limite: como
e sabemos que a série
(a harmônica) diverge, segue que a série
também diverge. Em linguagem de prova: as duas séries têm o mesmo comportamento e a harmônica diverge, logo a dada diverge.
Passo 6
Dica prática para a prova (curto e amigo): quando vir termos do tipo
ou
, é quase sempre bom comparar com
— usar fatoração dentro da raiz ou o teste de comparação por limite costuma resolver rapidinho. Força aí — você já deu um bom passo ao entender esse padrão!
Resposta
Divergente.