Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum_{n=1} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}.

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente. Informação relevante que temos: os termos são positivos para todo n e, quando n é grande, \sqrt{n^{2}+1} se comporta de forma parecida com n. Ainda não resolvemos nada — só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Conceito útil que vamos usar (explicação didática): a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é um exemplo clássico de série divergente. Uma prova rápida e elementar disso usa agrupamento:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
cada bloco entre parênteses tem soma maior ou igual a \frac{1}{2}, então somando infinitos blocos teremos soma infinita — ou seja, diverge. Esse fato é importante porque muitas séries que têm termos parecidos com \frac{1}{n} também divergem.

Passo 3

Apresentando o teste que vou usar (explicado passo a passo): o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test) diz o seguinte. Se a_n e b_n são termos positivos e existe o limite finito e não nulo
L=\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n},\qquad 0< L<\infty,
então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. A ideia por trás é que, para n grande, a_n é equivalente a L b_n e multiplicar por uma constante positiva não muda convergência/divergência.

Passo 4

Aplicando o teste: defina
a_n=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}\qquad\text{e}\qquad b_n=\frac{1}{n}.
Calculemos o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}. Primeiro escrevemos a razão:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\,\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}\,}{\dfrac{1}{n}}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}.
Agora extraímos n de dentro da raiz para facilitar o limite:
\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}}=\frac{n}{|n|\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}.
Como n é positivo para n\ge1, temos |n|=n, então
\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1.
Portanto o limite L existe e vale 1, que é um número finito e positivo.

Passo 5

Conclusão pelo Teste da Comparação por Limite: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\in(0,\infty)
e sabemos que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (a harmônica) diverge, segue que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}
também diverge. Em linguagem de prova: as duas séries têm o mesmo comportamento e a harmônica diverge, logo a dada diverge.

Passo 6

Dica prática para a prova (curto e amigo): quando vir termos do tipo \dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+(\text{const})}} ou \dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}, é quase sempre bom comparar com \dfrac{1}{n} — usar fatoração dentro da raiz ou o teste de comparação por limite costuma resolver rapidinho. Força aí — você já deu um bom passo ao entender esse padrão!

Resposta

Divergente.

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