Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum^{\infty} \frac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}}
e pede para verificar, usando algum teste de comparação, se a série é convergente ou divergente. Informações importantes fornecidas:
  • O termo geral da série é a_{n}=\dfrac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}}.
  • A pergunta é apenas: a série converge ou diverge?

Passo 2

Intuição inicial (sem resolver ainda): para n grande, o termo \sqrt{n^{4}+1} tem comportamento parecido com n^{2} (porque \sqrt{n^{4}}=n^{2}). O denominador n^{3}+n^{2} tem termo dominante n^{3}. Assim heurísticamente
a_n\sim \frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n},
ou seja, o termo se comporta como o da série harmônica \sum 1/n, que a gente sabe que é divergente. Para transformar essa intuição em prova rigorosa, vamos usar o teste da comparação por limite.

Passo 3

Enunciado do teste que usaremos (Teste da comparação por limite), em palavras simples: se a_n e b_n são termos positivos e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem). Aqui a_n será o termo dado e b_n será um termo mais simples que capture o comportamento assintótico (escolhemos b_n=1/n).

Passo 4

Definimos explicitamente:
a_n=\frac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}},\qquad b_n=\frac{1}{n}.
Justificativa da escolha: pela observação do Passo 2, o termo a_n parece proporcional a 1/n para n grande; por isso b_n=1/n é uma boa comparação.

Passo 5

Calculamos o limite do quociente \dfrac{a_n}{b_n}. Primeiro escrevemos:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}}}{\dfrac{1}{n}} = n\cdot\frac{\sqrt{n^{4}+1}}{n^{3}+n^{2}}.
Agora simplificamos fatorando potências de n. Observe que \sqrt{n^{4}+1}=n^{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}} e n^{3}+n^{2}=n^{2}\bigl(n+1\bigr)=n^{2}\,n\bigl(1+\dfrac{1}{n}\bigr) — mais conveniente é escrever n^{3}+n^{2}=n^{2}(n+1). Substituindo:
\frac{a_n}{b_n} = n\cdot\frac{n^{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}}}{n^{2}(n+1)} = n\cdot\frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}}}{n+1}.
Agora dividimos numerador e denominador por n:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}}}{1+\dfrac{1}{n}}.
Tomando limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\sqrt{1+0}}{1+0}= \frac{1}{1}=1.
Portanto o limite L existe e é finito e positivo ( L=1).

Passo 6

Aplicando o teste da comparação por limite: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\in(0,\infty)
e sabemos que a série \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n} (série harmônica, caso p=1 da série \sum 1/n^{p}) é divergente, concluímos que a série \sum a_n também é divergente.

Resposta

Divergente.

Exercícios relacionados