Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para verificar, usando algum teste de comparação, se a série é convergente ou divergente. Informações importantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é apenas: a série converge ou diverge?
Passo 2
Intuição inicial (sem resolver ainda): para
grande, o termo
tem comportamento parecido com
(porque
). O denominador
tem termo dominante
. Assim heurísticamente
ou seja, o termo se comporta como o da série harmônica
, que a gente sabe que é divergente. Para transformar essa intuição em prova rigorosa, vamos usar o teste da comparação por limite.
Passo 3
Enunciado do teste que usaremos (Teste da comparação por limite), em palavras simples: se
e
são termos positivos e
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem). Aqui
será o termo dado e
será um termo mais simples que capture o comportamento assintótico (escolhemos
).
Passo 4
Definimos explicitamente:
Justificativa da escolha: pela observação do Passo 2, o termo
parece proporcional a
para
grande; por isso
é uma boa comparação.
Passo 5
Calculamos o limite do quociente
. Primeiro escrevemos:
Agora simplificamos fatorando potências de
. Observe que
e
— mais conveniente é escrever
. Substituindo:
Agora dividimos numerador e denominador por
:
Tomando limite quando
:
Portanto o limite
existe e é finito e positivo (
).
Passo 6
Aplicando o teste da comparação por limite: como
e sabemos que a série
(série harmônica, caso
da série
) é divergente, concluímos que a série
também é divergente.
Resposta
Divergente.