a) Decomponha na forma LU ;
b) Verifique a decomposição;
c) Use a decomposição LU para determinar a matriz inversa;
d) verifique seus resultados sabendo que A A^{-1}=I.
Passo 1
Enunciado e dados. Temos duas matrizes quadradas 3\times3:
O que se pede:
a) decompor cada matriz na forma LU (matriz L com 1 na diagonal e U triangular superior — método de Doolittle, sem pivoteamento);
b) verificar a decomposição (ou seja, mostrar que L U dá a matriz original);
c) usar a decomposição LU para calcular a matriz inversa de cada matriz;
d) verificar que o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade.
Informações relevantes: ambas são matrizes 3\times3; não foi pedido pivoteamento, então vamos tentar LU direto (assumimos que os pivôs principais não são zero).]
Passo 2
Breve explicação do método LU (Doolittle) e do plano para obter inversa.
Ideia do LU: queremos A=L U com \,L triangular inferior com \,1 na diagonal e \,U triangular superior. Fazemos eliminação de Gauss sobre A; os multiplicadores usados para zerar abaixo do pivô formam os elementos abaixo da diagonal em L; as linhas resultantes formam as linhas de U.
Notação: chamamos l_{ij} o elemento de L na linha i, coluna j (com l_{ii}=1). No passo de eliminação com pivô u_{11} calculamos l_{21}=a_{21}/u_{11}, l_{31}=a_{31}/u_{11}, etc.
Para calcular A^{-1} usando LU: para cada vetor coluna da identidade e_k resolvemos L y = e_k (substituição para frente) e depois U x = y (substituição para trás). O vetor x obtido é a k-ésima coluna de A^{-1}. Farei isso para as três colunas de cada matriz.
Passo 3
Decomposição LU da matriz A. Começo calculando os multiplicadores e as linhas de U.
Segunda equação (multiplicando por 5) é 87 x_2 -31 x_3 =1. Substituindo x_3 obtém-se x_2=\frac{4}{193}. Primeira equação dá x_1=\frac{14}{193}. Portanto primeira coluna de B^{-1} é \bigl(\tfrac{14}{193},\tfrac{4}{193},\tfrac{5}{193}\bigr)^T.
Coluna 2 (e_2):
L_B y = e_2 dá y=(0,1,3/29)^T.
U_B x = y resulta em x_3=\tfrac{9}{965}, x_2=\tfrac{176}{2895}, x_1=\tfrac{37}{2895}. Escrevendo com denominador comum 2895=193\cdot15, coluna 2 é \tfrac{1}{2895}(37,176,27)^T (observe x_3=\tfrac{27}{2895}).
Coluna 3 (e_3):
L_B y = e_3 dá y=(0,0,1)^T.
U_B x = y resulta em x_3=\tfrac{87}{965}, x_2=\tfrac{31}{965}, x_1=\tfrac{12}{965}. Com denominador 965, coluna 3 é \tfrac{1}{965}(12,31,87)^T, que também equivale a \tfrac{1}{2895}(36,93,261)^T.
Passo 12
Escrevendo B^{-1} de forma compacta (uso denominador comum 2895 para todas as colunas, para ficar com uma única fração):
que é equivalente às colunas individuais dadas por \bigl(\tfrac{14}{193},\tfrac{4}{193},\tfrac{5}{193}\bigr)^T, \bigl(\tfrac{37}{2895},\tfrac{176}{2895},\tfrac{27}{2895}\bigr)^T, \bigl(\tfrac{12}{965},\tfrac{31}{965},\tfrac{87}{965}\bigr)^T.
d) Verificações finais: A A^{-1}=I e B B^{-1}=I (cada produto coluna a coluna produz os vetores e_1,e_2,e_3).]