Verifique que
é uma norma em
.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar que, em
com o produto interno
a aplicação
satisfaz as três propriedades de uma norma:
- Positividade e definitude:
e . - Homogeneidade absoluta:
. - Desigualdade triangular:
.
Passo 2
(Positividade e definitude)
Pela definição de produto interno temos
Pela definição de produto interno temos
Como soma de quadrados é sempre não negativa,
.
Além disso, ocorre exatamente quando cada
, ou seja,
é a matriz zero. Logo
Além disso,
Passo 3
(Homogeneidade absoluta)
Seja . Então
Seja
Tomando raiz quadrada, vem
Passo 4
(Desigualdade triangular)
Usamos que todo produto interno satisfaz a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Primeiro escrevemos
Usamos que todo produto interno satisfaz a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Primeiro escrevemos
Pela Cauchy–Schwarz
, então
Como ambos os lados são não negativos, tirando raiz quadrada obtemos
Resposta
Portanto,
satisfaz as três propriedades de norma em
.