Verifique que
|A|=raizlang<= A, Arang<=
é uma norma em M2 times 2.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar que, em M2times2 com o produto interno
lang<= A,Brang<= = sumi,j=1^2 aijbij,
a aplicação
|A| = raizlang<= A,Arang<=
satisfaz as três propriedades de uma norma:
  1. Positividade e definitude: |A|>=0 e |A|=0iff A=0.
  2. Homogeneidade absoluta: |lambda A|=|lambda|,|A|.
  3. Desigualdade triangular: |A+B|<=|A|+|B|.

Passo 2

(Positividade e definitude)
Pela definição de produto interno temos
|A|^2 = lang<= A,Arang<= = sumi,j=1^2aij^2
Como soma de quadrados é sempre não negativa, |A|>=0.
Além disso, sum aij^2=0 ocorre exatamente quando cada aij=0, ou seja, A é a matriz zero. Logo
|A|>=0 e |A|=0iff A=0

Passo 3

(Homogeneidade absoluta)
Seja lambdainR. Então
|lambda A|^2 = lang<= lambda A,lambda Arang<= = lambda^2,lang<= A,Arang<= = lambda^2,|A|^2
Tomando raiz quadrada, vem
|lambda A| = |lambda|,|A|

Passo 4

(Desigualdade triangular)
Usamos que todo produto interno satisfaz a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Primeiro escrevemos
|A+B|^2 = lang<= A+B,,A+Brang<= = |A|^2 + 2lang<= A,Brang<= + |B|^2
Pela Cauchy–Schwarz lang<= A,Brang<=<=|A|,|B|, então
|A+B|^2 <= |A|^2 + 2|A||B| + |B|^2 = (|A|+|B|)^2
Como ambos os lados são não negativos, tirando raiz quadrada obtemos
|A+B|<= |A| + |B|

Resposta

Portanto, |A|=raizlang<= A,Arang<= satisfaz as três propriedades de norma em M2times2.

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