Verifique que
|p|=raizlang<= p, prang<=
é uma norma em P3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em P3 (o espaço dos polinômios de grau <=3) com o produto interno lang<= p,qrang<=, a aplicação
|p| = raizlang<= p,prang<=
satisfaz as três propriedades de uma norma: (i) positividade e definitude, (ii) homogeneidade absoluta e (iii) desigualdade triangular.

Passo 2

(Positividade e definitude)
Por definição de produto interno, temos sempre
lang<= p,prang<= >= 0
e lang<= p,prang<= = 0 se e somente se p for o polinômio nulo. Como a raiz quadrada preserva ordem em não-negativos, conclui-se que
|p| = raizlang<= p,prang<= >= 0
e
|p| = 0 Long<=ftrightarrow lang<= p,prang<= = 0 Long<=ftrightarrow p = 0

Passo 3

(Homogeneidade absoluta)
Se alphainR e pinP3, então
|alpha p| = raizlang<= alpha p,alpha prang<= = raizalpha^2,lang<= p,prang<= = |alpha|,raizlang<= p,prang<= = |alpha|,|p|

Passo 4

(Desigualdade triangular)
Para p,qinP3,
|p+q|^2 = lang<= p+q,,p+qrang<= = lang<= p,prang<= +2lang<= p,qrang<= +lang<= q,qrang<=
Pelo Cauchy–Schwarz temos lang<= p,qrang<= <= |p|,|q|, logo
|p+q|^2 <= |p|^2 + 2|p|,|q| + |q|^2 = (|p|+|q|)^2
Tirando raiz não-negativa em ambos os lados, obtemos
|p+q| <= |p| + |q|

Resposta

Mostramos que |p|=raizlang<= p,prang<= satisfaz positividade e definitude, homogeneidade absoluta e desigualdade triangular, logo é uma norma em P3.

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