Verifique que
é uma norma em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em
(o espaço dos polinômios de grau
) com o produto interno
, a aplicação
satisfaz as três propriedades de uma norma: (i) positividade e definitude, (ii) homogeneidade absoluta e (iii) desigualdade triangular.
Passo 2
(Positividade e definitude)
Por definição de produto interno, temos sempre
Por definição de produto interno, temos sempre
e
se e somente se
for o polinômio nulo. Como a raiz quadrada preserva ordem em não-negativos, conclui-se que
e
Passo 3
(Homogeneidade absoluta)
Se e
, então
Se
Passo 4
(Desigualdade triangular)
Para ,
Para
Pelo Cauchy–Schwarz temos
, logo
Tirando raiz não-negativa em ambos os lados, obtemos
Resposta
Mostramos que
satisfaz positividade e definitude, homogeneidade absoluta e desigualdade triangular, logo é uma norma em
.