Verifique a paridade das seguintes funções:
f(x)=log 5(x+raiz1-x^2);

Passo 1

O enunciado pede para verificar a paridade (se é par, ímpar ou nenhuma das duas) da função
f(x)=log5l(x+raiz1-x^2r)
Para isso, vamos precisar (a) determinar o domínio de f, (b) checar se esse domínio é simétrico em relação a zero e (c) comparar f(-x) com f(x) e -f(x).

Passo 2

Determinamos o domínio de f exigindo primeiro que o radical seja real e depois que o argumento do log seja positivo:
  1. raiz1-x^2 exige
1 - x^2 >= 0 Longrightarrow -1 <= x <= 1
  1. O log exige
x + raiz1 - x^2 > 0
Para x>=0 temos raiz1-x^2>=0, logo x+raiz1-x^2>0.
Para x<0 impomos raiz1-x^2>-x, que ao quadrado dá
1 - x^2 > x^2 Longrightarrow 1 > 2x^2 Longrightarrow |x| < tfrac1raiz2 Longrightarrow -,tfrac1raiz2 < x < 0
Combinando, obtemos
D = l(-tfrac1raiz2,1r]

Passo 3

Para que f fosse par ou ímpar, seu domínio D precisaria ser simétrico em relação a zero, ou seja, sempre que xin D também -xin D. Mas aqui 1in D enquanto -1notin D, e em geral se xin D perto de 1 então -xnotin D. Logo o domínio não é simétrico, o que impede a função de ser par ou ímpar.

Resposta

A função f(x)=log5l(x+raiz1-x^2r) não é nem par nem ímpar.

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