Verifique se as retas são paralelas, concorrentes ou reversas. As retas são ortogonais? Caso sejam concorrentes encontre o ponto de interseção e obtenha a equação de um plano que as contém.
r:(x, y, z)=(3,-1,2)+t(1,2,3) s:(x, y, z)=(9,-10,-1)+t(3,2,1)

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r: (x,y,z) = (3,-1,2) + t\,(1,2,3),
s: (x,y,z) = (9,-10,-1) + t\,(3,2,1).
Precisamos classificar sua posição relativa (paralelas, concorrentes ou reversas), verificar se são ortogonais e, se houver interseção, encontrar o ponto comum e a equação de um plano que as contenha.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores
v = (1,2,3),
w = (3,2,1).
Para serem paralelas, teríamos v = k\,w para algum escalar k. Comparando componentes:
\frac{1}{3}\neq\frac{2}{2},
logo não existe k e as retas não são paralelas.

Passo 3

Para ver se há interseção, igualamos
(3,-1,2) + \lambda\,(1,2,3) = (9,-10,-1) + \mu\,(3,2,1),
o que gera o sistema
3 + \lambda = 9 + 3\mu
-1 + 2\lambda = -10 + 2\mu
2 + 3\lambda = -1 + \mu.
Das duas primeiras equações obtém-se \lambda e \mu incompatíveis com a terceira, logo não há solução conjunta e as retas não se intersectam. Elas são, portanto, reversas (skew).

Passo 4

O produto escalar dos vetores diretores é
v\cdot w = 1\cdot 3 + 2\cdot 2 + 3\cdot 1 = 10 \neq 0,
portanto as retas não são ortogonais.

Passo 5

Como não há ponto em comum, não são concorrentes e não existe plano que contenha ambas.

Resposta

As retas são reversas (skew), não são ortogonais, não têm interseção e não existe plano que as contenha simultaneamente.

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